Phương trình Schrödinger (Schrödinger equation)

Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian

Phương trình này mô tả sự tiến hóa của hàm sóng theo thời gian. Dạng tổng quát của nó là:

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r}, t) = \hat{H}\Psi(\vec{r}, t)$

Trong đó:

• $i$ là đơn vị ảo ($i^2 = -1$).
• $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ là hằng số Planck rút gọn.
• $\Psi(\vec{r}, t)$ là hàm sóng của hệ, phụ thuộc vào vị trí $\vec{r}$ và thời gian $t$.
• $\frac{\partial}{\partial t}$ là đạo hàm riêng theo thời gian.
• $\hat{H}$ là toán tử Hamilton, biểu diễn tổng năng lượng của hệ.

Đối với một hạt phi tương đối tính chuyển động trong trường thế năng $V(\vec{r}, t)$, toán tử Hamilton được viết là:

$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r}, t)$

Trong đó:

• $m$ là khối lượng của hạt.
• $\nabla^2$ là toán tử Laplace, biểu diễn động năng của hạt.
• $V(\vec{r}, t)$ là thế năng của hạt tại vị trí $\vec{r}$ và thời gian $t$.

Vậy, phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian cho hạt phi tương đối tính trong trường thế năng $V(\vec{r}, t)$ là:

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r}, t) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r}, t) \right] \Psi(\vec{r}, t)$

Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian

Khi thế năng không phụ thuộc thời gian ($V(\vec{r}, t) = V(\vec{r})$), ta có thể tách hàm sóng thành tích của một hàm chỉ phụ thuộc vị trí và một hàm chỉ phụ thuộc thời gian: $\Psi(\vec{r}, t) = \psi(\vec{r})e^{-iEt/\hbar}$. Thay vào phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian, ta được phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian:

$\hat{H}\psi(\vec{r}) = E\psi(\vec{r})$

Hay cụ thể hơn:

$\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r}) \right] \psi(\vec{r}) = E\psi(\vec{r})$

Trong đó:

• $E$ là năng lượng của hệ.
• $\psi(\vec{r})$ là hàm sóng không phụ thuộc thời gian.

Phương trình này là một phương trình giá trị riêng, với $E$ là giá trị riêng và $\psi(\vec{r})$ là hàm riêng tương ứng. Việc giải phương trình này cho phép ta tìm được các trạng thái dừng của hệ, tức là các trạng thái mà năng lượng không thay đổi theo thời gian.

Ý nghĩa và ứng dụng

Phương trình Schrödinger là công cụ quan trọng để nghiên cứu các hệ lượng tử. Nó cho phép ta:

• Xác định hàm sóng của hệ, từ đó tính toán xác suất tìm thấy hạt ở một vị trí nhất định.
• Tính toán các đại lượng vật lý của hệ, như năng lượng, động lượng, momen động lượng.
• Nghiên cứu sự tiến hóa theo thời gian của hệ lượng tử (khi sử dụng dạng phụ thuộc thời gian).

Phương trình Schrödinger có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của vật lý, hóa học, và khoa học vật liệu, ví dụ như:

• Mô tả cấu trúc nguyên tử và phân tử.
• Nghiên cứu tính chất của vật liệu bán dẫn.
• Thiết kế laser và các thiết bị quang điện tử.
• Phát triển công nghệ nano.

Giải thích về Hàm sóng và Toán tử Hamilton

• Hàm sóng ($\Psi(\vec{r}, t)$ hoặc $\psi(\vec{r})$): Mô tả trạng thái lượng tử của một hạt hoặc hệ các hạt. Bình phương độ lớn của hàm sóng tại một điểm trong không gian cho biết xác suất tìm thấy hạt tại điểm đó. Hàm sóng phải liên tục, khả vi và bình phương khả tích (nghĩa là tích phân của bình phương độ lớn hàm sóng trên toàn bộ không gian phải hữu hạn).
• Toán tử Hamilton ($\hat{H}$): Đại diện cho tổng năng lượng của hệ, bao gồm động năng và thế năng. Toán tử này tác động lên hàm sóng để tạo ra một hàm sóng mới, tỷ lệ với năng lượng của hệ. Dạng toán tử Hamilton cho hạt phi tương đối tính đã được trình bày ở phần trên. Đối với các hệ phức tạp hơn, toán tử Hamilton sẽ có dạng phức tạp hơn.

Các dạng khác của phương trình Schrödinger

Ngoài dạng cho hạt đơn trong trường thế năng, phương trình Schrödinger còn có thể được mở rộng cho các hệ nhiều hạt:

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, …, \vec{r}_N, t) = \hat{H} \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, …, \vec{r}_N, t)$

Trong đó, $\Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, …, \vec{r}_N, t)$ là hàm sóng của $N$ hạt, và $\hat{H}$ là toán tử Hamilton của hệ nhiều hạt. Toán tử Hamilton này sẽ phức tạp hơn, bao gồm cả động năng và thế năng của từng hạt, cũng như tương tác giữa chúng.

Phương trình Schrödinger cũng có thể được viết cho các hạt tương đối tính, ví dụ như phương trình Dirac. Phương trình Dirac kết hợp các hiệu ứng tương đối tính và mô tả spin của hạt.

Ví dụ: Hạt trong hộp một chiều

Một ví dụ đơn giản là bài toán “hạt trong hộp” một chiều. Hạt bị giới hạn trong một khoảng không gian từ 0 đến $L$. Thế năng bên trong hộp là 0 và vô cùng lớn bên ngoài. Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian trong trường hợp này là:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)$ với $0 < x < L$

Giải phương trình này với điều kiện biên $\psi(0) = \psi(L) = 0$, ta tìm được các mức năng lượng rời rạc:

$E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$, với $n = 1, 2, 3,…$

và các hàm sóng tương ứng:

$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$

Ví dụ này cho thấy năng lượng của hạt bị lượng tử hóa, chỉ có thể nhận các giá trị rời rạc.

Hạn chế

Phương trình Schrödinger không tính đến các hiệu ứng tương đối tính và không mô tả được các hiện tượng liên quan đến spin của hạt. Như đã đề cập, phương trình Dirac là một phiên bản tương đối tính của phương trình Schrödinger. Đối với các hệ phức tạp, việc giải phương trình Schrödinger chính xác có thể rất khó khăn. Trong những trường hợp này, các phương pháp xấp xỉ như lý thuyết nhiễu loạn được sử dụng.

• Griffiths, D. J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics. Pearson Prentice Hall.
• Shankar, R. (1994). Principles of Quantum Mechanics. Springer.
• Eisberg, R., & Resnick, R. (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles. John Wiley & Sons.
• Zettili, N. (2009). Quantum Mechanics: Concepts and Applications. John Wiley & Sons.

Câu hỏi và Giải đáp

Sự khác biệt chính giữa phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian và không phụ thuộc thời gian là gì và khi nào nên sử dụng từng loại?

Trả lời: Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian ($i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\vec{r}, t) = \hat{H} \Psi(\vec{r}, t)$) được sử dụng khi thế năng hoặc Hamilton phụ thuộc vào thời gian, cho phép ta nghiên cứu sự tiến hóa của hệ theo thời gian. Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian ($\hat{H}\psi(\vec{r}) = E\psi(\vec{r})$) được sử dụng khi thế năng không phụ thuộc thời gian. Nó giúp xác định các trạng thái dừng và mức năng lượng của hệ.

Toán tử Hamilton $\hat{H}$ có ý nghĩa vật lý như thế nào và làm thế nào để xây dựng nó cho một hệ cụ thể?

Trả lời: Toán tử Hamilton đại diện cho tổng năng lượng của hệ, bao gồm động năng và thế năng. Đối với một hạt phi tương đối tính, $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r})$. Đối với các hệ phức tạp hơn, việc xây dựng toán tử Hamilton yêu cầu xem xét tất cả các dạng năng lượng liên quan, ví dụ như năng lượng tương tác giữa các hạt.

Hàm sóng $\Psi$ có ý nghĩa vật lý gì và tại sao bình phương độ lớn của nó lại liên quan đến xác suất?

Trả lời: Hàm sóng $\Psi$ mô tả trạng thái lượng tử của hệ. Bình phương độ lớn của nó, $|\Psi(\vec{r}, t)|^2$, cho biết mật độ xác suất tìm thấy hạt tại vị trí $\vec{r}$ vào thời điểm $t$. Cách diễn giải này được Max Born đề xuất và được chấp nhận rộng rãi trong cơ học lượng tử.

Điều kiện biên ảnh hưởng như thế nào đến việc giải phương trình Schrödinger và xác định các mức năng lượng?

Trả lời: Điều kiện biên đặt ra các ràng buộc lên hàm sóng tại các biên của miền xác định. Ví dụ, trong bài toán “hạt trong hộp”, điều kiện biên $\psi(0) = \psi(L) = 0$ dẫn đến việc lượng tử hóa năng lượng, nghĩa là năng lượng chỉ có thể nhận các giá trị rời rạc. Điều kiện biên khác nhau sẽ dẫn đến các mức năng lượng và hàm sóng khác nhau.

Hạn chế của phương trình Schrödinger là gì và những lý thuyết nào được phát triển để khắc phục những hạn chế này?

Trả lời: Phương trình Schrödinger không tính đến các hiệu ứng tương đối tính và spin của hạt. Đối với các hạt chuyển động với vận tốc gần bằng tốc độ ánh sáng, cần sử dụng phương trình Dirac, một phương trình tương đối tính. Để mô tả spin, cần kết hợp phương trình Schrödinger với lý thuyết về spin. Ngoài ra, phương trình Schrödinger cũng không mô tả được các hiện tượng liên quan đến sáng tạo và hủy diệt hạt, đòi hỏi phải sử dụng lý thuyết trường lượng tử.