Quy tắc Cram (Cram’s Rule)

Phát biểu:

Xét hệ phương trình tuyến tính $n$ ẩn $x_1, x_2, …, x_n$ gồm $n$ phương trình:

$a_{11}x1 + a{12}x2 + … + a{1n}x_n = b1$
$a{21}x1 + a{22}x2 + … + a{2n}x_n = b2$
…
$a{n1}x1 + a{n2}x2 + … + a{nn}x_n = b_n$

Hệ phương trình này có thể được viết dưới dạng ma trận là $Ax = b$, trong đó:

$A = \begin{bmatrix} a{11} & a{12} & … & a{1n} \ a{21} & a{22} & … & a{2n} \ … & … & … & … \ a{n1} & a{n2} & … & a_{nn} \end{bmatrix}$, $x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ … \ x_n \end{bmatrix}$, và $b = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \ … \ b_n \end{bmatrix}$.

Nếu $\det(A) \neq 0$, thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất, và nghiệm này được tính bằng quy tắc Cram như sau:

$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$ với $i = 1, 2, …, n$

Trong đó, $A_i$ là ma trận được tạo thành bằng cách thay cột thứ $i$ của ma trận $A$ bằng vector cột $b$.

Ví dụ

Giải hệ phương trình:

$x + 2y = 5$
$3x – y = 1$

Ta có: $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & -1 \end{bmatrix}$, $b = \begin{bmatrix} 5 \ 1 \end{bmatrix}$.

$\det(A) = (1)(-1) – (2)(3) = -7$

$A_1 = \begin{bmatrix} 5 & 2 \ 1 & -1 \end{bmatrix}$, $\det(A_1) = (5)(-1) – (2)(1) = -7$

$A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 5 \ 3 & 1 \end{bmatrix}$, $\det(A_2) = (1)(1) – (5)(3) = -14$

Vậy:

$x = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-7}{-7} = 1$

$y = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{-14}{-7} = 2$

Nghiệm của hệ phương trình là $x = 1$ và $y = 2$.

Ưu điểm và nhược điểm

• Ưu điểm: Quy tắc Cram cung cấp một công thức rõ ràng để tính nghiệm của hệ phương trình.
• Nhược điểm: Việc tính toán định thức trở nên phức tạp khi số ẩn lớn. Đối với hệ phương trình lớn, quy tắc Cram kém hiệu quả hơn các phương pháp khác như khử Gauss.

Quy tắc Cram là một công cụ hữu ích để giải các hệ phương trình tuyến tính nhỏ, nhưng không phải là lựa chọn tốt nhất cho các hệ phương trình lớn do tính toán phức tạp. Nó cung cấp một cách tiếp cận lý thuyết thú vị cho việc giải quyết hệ phương trình, nhưng trong thực tế, các phương pháp khác thường được ưa chuộng hơn.

Mở rộng:

Mặc dù kém hiệu quả trong tính toán so với các phương pháp khác khi $n$ lớn, Quy tắc Cram vẫn có giá trị lý thuyết đáng kể. Nó cung cấp một biểu diễn tường minh cho nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, cho phép phân tích nghiệm dựa trên các hệ số và vế phải của hệ.

Ứng dụng trong Giải tích

Quy tắc Cram có thể được sử dụng để tính đạo hàm của nghiệm của hệ phương trình tuyến tính theo tham số. Giả sử hệ phương trình phụ thuộc vào một tham số $t$: $A(t)x(t) = b(t)$. Khi đó, đạo hàm của $x(t)$ theo $t$ có thể được biểu diễn bằng Quy tắc Cram và đạo hàm của định thức.

Liên hệ với Ma trận nghịch đảo

Quy tắc Cram cũng có liên hệ mật thiết với ma trận nghịch đảo. Nếu $A$ khả nghịch, ma trận nghịch đảo $A^{-1}$ có thể được biểu diễn thông qua các định thức con của $A$ và $\det(A)$. Cụ thể, phần tử ở hàng $i$, cột $j$ của $A^{-1}$ được cho bởi:

$(A^{-1}){ij} = \frac{(-1)^{i+j} \det(M{ji})}{\det(A)}$

trong đó $M_{ji}$ là ma trận con được tạo thành bằng cách loại bỏ hàng $j$ và cột $i$ của ma trận $A$. Kết hợp với biểu thức $x = A^{-1}b$, ta có thể thấy mối liên hệ giữa Quy tắc Cram và ma trận nghịch đảo.

Tổng quát hóa

Quy tắc Cram có thể được tổng quát hóa cho các hệ phương trình với ma trận hệ số là ma trận vuông trên một trường bất kỳ. Tuy nhiên, việc tính toán định thức trên các trường khác số thực hoặc số phức có thể phức tạp hơn.

• Anton, Howard, and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons, 2010.
• Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications. Pearson, 2012.
• Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 2016.

Câu hỏi và Giải đáp

Tại sao Quy tắc Cram chỉ áp dụng được khi $det(A) \neq 0$?

Trả lời: Nếu $det(A) = 0$, ma trận $A$ là ma trận suy biến (không khả nghịch). Điều này có nghĩa là hệ phương trình $Ax = b$ hoặc là vô nghiệm, hoặc là có vô số nghiệm. Trong cả hai trường hợp này, Quy tắc Cram đều không thể áp dụng được vì nó chỉ cho ra một nghiệm duy nhất.

Mối liên hệ giữa Quy tắc Cram và ma trận nghịch đảo là gì?

Trả lời: Công thức của Quy tắc Cram, $x_i = \frac{det(A_i)}{det(A)}$, có thể được suy ra từ việc biểu diễn nghiệm của hệ phương trình dưới dạng $x = A^{-1}b$. Các phần tử của ma trận nghịch đảo $A^{-1}$ có thể được tính bằng công thức sử dụng định thức con và $det(A)$, từ đó dẫn đến công thức của Quy tắc Cram.

Tính toán bằng Quy tắc Cram có hiệu quả hơn so với khử Gauss trong trường hợp nào?

Trả lời: Đối với hệ phương trình rất nhỏ (ví dụ $2 \times 2$ hoặc $3 \times 3$), Quy tắc Cram có thể nhanh hơn khử Gauss trong một số trường hợp cụ thể. Tuy nhiên, khi số ẩn tăng lên, khử Gauss trở nên hiệu quả hơn đáng kể do độ phức tạp tính toán của việc tính định thức tăng rất nhanh.

Nếu $det(A) = 0$, chúng ta có thể sử dụng Quy tắc Cram để rút ra kết luận gì về hệ phương trình $Ax = b$?

Trả lời: Nếu $det(A) = 0$, chúng ta có thể kết luận rằng hệ phương trình $Ax = b$ hoặc là vô nghiệm, hoặc là có vô số nghiệm. Chúng ta không thể xác định được nghiệm cụ thể bằng Quy tắc Cram trong trường hợp này.

Làm thế nào để áp dụng Quy tắc Cram cho hệ phương trình có tham số?

Trả lời: Nếu hệ phương trình có dạng $A(t)x(t) = b(t)$, với $t$ là tham số, ta có thể áp dụng Quy tắc Cram cho từng giá trị cụ thể của $t$. Nghiệm $x(t)$ sẽ là một hàm của $t$. Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng Quy tắc Cram để tính đạo hàm của $x(t)$ theo $t$ bằng cách lấy đạo hàm của công thức $x_i(t) = \frac{det(A_i(t))}{det(A(t))}$.