Quy tắc Đòn bẩy (Lever Rule)

Tên gọi “Đòn bẩy” xuất phát từ sự tương đồng của nó với một chiếc đòn bẩy cơ học. Trong đó, đường liên kết (tie-line) trong vùng hai pha được xem như cánh tay đòn, thành phần chung của hệ là điểm tựa (fulcrum), và thành phần của hai pha tại hai đầu đường liên kết được xem như các vật nặng. Sự cân bằng của “đòn bẩy” này cho phép tính toán chính xác phần trăm của mỗi pha, giúp hiểu rõ cấu trúc vi mô của vật liệu tại một nhiệt độ và thành phần nhất định.

Nguyên lý và Các bước Áp dụng

Quy tắc đòn bẩy dựa trên nguyên tắc bảo toàn khối lượng (hoặc bảo toàn số mol). Nguyên tắc này khẳng định rằng tổng khối lượng (hoặc số mol) của một cấu tử trong toàn bộ hệ phải bằng tổng khối lượng (hoặc số mol) của cấu tử đó phân bố trong từng pha riêng lẻ. Khi biểu diễn trên giản đồ pha, điều này dẫn đến một hệ thức toán học: tỷ lệ khối lượng của hai pha ở trạng thái cân bằng sẽ tỷ lệ nghịch với độ dài của các “cánh tay đòn” tương ứng trên đường liên kết (tie-line).

Để áp dụng Quy tắc Đòn bẩy, ta thực hiện các bước sau đây trên một giản đồ pha hai cấu tử:

1. Xác định điểm và vẽ đường liên kết:
   • Trước hết, xác định điểm M trên giản đồ pha, tương ứng với thành phần tổng thể của hệ (ví dụ $C_0$) và nhiệt độ $T$ đang xét. Điểm này phải nằm trong một vùng hai pha, ví dụ vùng cùng tồn tại pha $\alpha$ và pha $\beta$.
   • Kẻ một đường liên kết (tie-line), là một đường thẳng nằm ngang (đường đẳng nhiệt) đi qua điểm M. Đường này sẽ cắt hai đường biên của vùng hai pha (ví dụ đường liquidus và solidus, hoặc hai đường solvus) tại hai điểm. Điểm giao với đường biên của pha $\alpha$ cho ta thành phần của pha $\alpha$ (ký hiệu $C_\alpha$), và điểm giao với đường biên của pha $\beta$ cho ta thành phần của pha $\beta$ (ký hiệu $C_\beta$).
2. Tính toán phần trăm khối lượng các pha:
   • Đoạn thẳng nối từ $C_\alpha$ đến $C_\beta$ chính là “đòn bẩy”, và điểm $C_0$ là “điểm tựa”.
   • Phần khối lượng của pha $\alpha$ ($W_\alpha$) được tính bằng cách lấy độ dài của cánh tay đòn đối diện (từ $C_0$ đến $C_\beta$) chia cho tổng chiều dài của đòn bẩy.

     $W_\alpha = \frac{C_\beta – C_0}{C_\beta – C_\alpha} \times 100\%$

   • Phần khối lượng của pha $\beta$ ($W_\beta$) được tính bằng cách lấy độ dài của cánh tay đòn đối diện (từ $C_0$ đến $C_\alpha$) chia cho tổng chiều dài của đòn bẩy.

     $W_\beta = \frac{C_0 – C_\alpha}{C_\beta – C_\alpha} \times 100\%$

   • Tổng phần trăm khối lượng của hai pha luôn bằng 100%: $W_\alpha + W_\beta = 100\%$.

Ví dụ:

Giả sử tại nhiệt độ T, điểm thành phần tổng thể $C_0$ nằm trên đường liên kết. Cánh tay đòn từ $C0$ đến thành phần pha $\alpha$ ($C\alpha$) có độ dài là 6 đơn vị. Cánh tay đòn từ $C0$ đến thành phần pha $\beta$ ($C\beta$) có độ dài là 2 đơn vị. Tổng chiều dài đòn bẩy là $6 + 2 = 8$ đơn vị.

• Phần trăm khối lượng pha $\alpha$ ($W_\alpha$): $\frac{2}{8} = 0.25$ (tức 25%)
• Phần trăm khối lượng pha $\beta$ ($W_\beta$): $\frac{6}{8} = 0.75$ (tức 75%)

Ứng dụng, Chứng minh và Các trường hợp đặc biệt

Quy tắc Đòn bẩy là một công cụ nền tảng và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật:

• Luyện kim và Khoa học vật liệu: Đây là ứng dụng phổ biến nhất. Quy tắc này rất quan trọng để xác định thành phần pha của các hợp kim (ví dụ thép, đồng thau) ở các nhiệt độ khác nhau trong quá trình đông đặc hoặc xử lý nhiệt. Việc biết được tỷ lệ các pha như ferrite, austenite, cementite… cho phép các kỹ sư kiểm soát và tiên đoán các tính chất cơ học của vật liệu.
• Hóa học và Kỹ thuật Hóa học: Dùng để phân tích các hệ cân bằng lỏng-lỏng hoặc lỏng-hơi trong các quá trình chưng cất và chiết tách, giúp xác định lượng tương đối của mỗi pha trong hỗn hợp.
• Địa chất học: Giúp các nhà địa chất học phân tích quá trình kết tinh của magma. Bằng cách xem xét giản đồ pha của các khoáng vật, họ có thể ước tính thành phần của pha rắn (khoáng vật) và pha lỏng (magma nóng chảy) tại các giai đoạn khác nhau của quá trình nguội đi.

Chứng minh Công thức Quy tắc Đòn bẩy

Công thức của Quy tắc Đòn bẩy có thể được chứng minh một cách chặt chẽ dựa trên nguyên tắc bảo toàn khối lượng.

Xét một hệ có khối lượng tổng cộng là $M{T}$, chứa hai pha $\alpha$ và $\beta$. Gọi $W\alpha$ và $W\beta$ lần lượt là phần khối lượng của pha $\alpha$ và pha $\beta$. Ta có:

$W\alpha + W_\beta = 1$

Bây giờ, ta xét sự bảo toàn khối lượng cho một cấu tử cụ thể (ví dụ cấu tử B). Gọi:

• $C_0$: Nồng độ phần trăm khối lượng của cấu tử B trong toàn bộ hệ.
• $C_\alpha$: Nồng độ phần trăm khối lượng của cấu tử B trong pha $\alpha$.
• $C_\beta$: Nồng độ phần trăm khối lượng của cấu tử B trong pha $\beta$.

Tổng khối lượng của cấu tử B trong hệ phải bằng tổng khối lượng của nó trong từng pha:

$M_T \cdot C_0 = (M_T \cdot W_\alpha) \cdot C_\alpha + (M_T \cdot W_\beta) \cdot C_\beta$

Chia cả hai vế cho $M_T$, ta có:

$C_0 = W_\alpha \cdot C_\alpha + W_\beta \cdot C_\beta$

Thay $W_\beta = 1 – W_\alpha$ vào phương trình trên:

$C_0 = W_\alpha \cdot C_\alpha + (1 – W_\alpha) \cdot C_\beta$

$C_0 = W_\alpha \cdot C_\alpha + C_\beta – W_\alpha \cdot C_\beta$

$W_\alpha \cdot (C_\alpha – C_\beta) = C_0 – C_\beta$

Sắp xếp lại các số hạng, ta được công thức tính phần khối lượng của pha $\alpha$:

$W_\alpha = \frac{C_0 – C_\beta}{C_\alpha – C_\beta} = \frac{C_\beta – C_0}{C_\beta – C_\alpha}$

Tương tự, ta có thể chứng minh được công thức cho $W_\beta$:

$W_\beta = \frac{C_0 – C_\alpha}{C_\beta – C_\alpha}$

Đây chính là các công thức toán học của Quy tắc Đòn bẩy.

Các trường hợp đặc biệt

• Khi điểm thành phần tổng thể nằm trên đường biên pha $\alpha$ ($C_0 = C_\alpha$): Hệ chỉ chứa duy nhất pha $\alpha$. Công thức cho thấy $W_\beta = \frac{C_\alpha – C_\alpha}{C_\beta – C_\alpha} = 0$, suy ra $W_\alpha = 1$ (100% pha $\alpha$).
• Khi điểm thành phần tổng thể nằm trên đường biên pha $\beta$ ($C_0 = C_\beta$): Hệ chỉ chứa duy nhất pha $\beta$. Công thức cho thấy $W_\alpha = \frac{C_\beta – C_\beta}{C_\beta – C_\alpha} = 0$, suy ra $W_\beta = 1$ (100% pha $\beta$).
• Khi điểm thành phần tổng thể nằm chính giữa đường liên kết ($C_0$ là trung điểm của đoạn $C_\alpha C_\beta$): Điều này có nghĩa là “điểm tựa” nằm ngay giữa “đòn bẩy”, do đó hai “cánh tay đòn” có độ dài bằng nhau. Hệ sẽ chứa một lượng bằng nhau của hai pha, tức là $W_\alpha = W_\beta = 0.5$ (50%).

• Callister, W. D., Jr., & Rethwisch, D. G. (2018). Materials science and engineering: an introduction (10th ed.). John Wiley & Sons.
• Askeland, D. R., Fulay, P. P., Wright, W. J., & Balani, K. (2011). The science and engineering of materials (6th ed.). Cengage Learning.
• Smith, W. F., & Hashemi, J. (2006). Foundations of materials science and engineering (4th ed.). McGraw-Hill.
• Shackelford, J. F. (2015). Introduction to materials science for engineers (8th ed.). Pearson Education.

Câu hỏi và Giải đáp

Quy tắc đòn bẩy có áp dụng được cho hệ ba cấu tử không? Nếu không, tại sao?

Trả lời: Không, quy tắc đòn bẩy, ở dạng cơ bản như đã trình bày, không áp dụng trực tiếp cho hệ ba cấu tử. Lý do là vì giản đồ pha của hệ ba cấu tử là giản đồ tam giác (hoặc giản đồ tứ diện trong không gian ba chiều), và việc xác định tỷ lệ các pha trở nên phức tạp hơn. Trong hệ ba cấu tử, ta không thể chỉ dùng một đường tie-line để xác định tỷ lệ các pha. Thay vào đó, người ta thường sử dụng các phương pháp hình học khác, chẳng hạn như phương pháp trọng tâm, hoặc các phương pháp phân tích phức tạp hơn để xác định thành phần các pha trong hệ ba cấu tử.

Nếu một hệ hai cấu tử không ở trạng thái cân bằng, làm thế nào để ước tính tỷ lệ pha?

Trả lời: Khi hệ không ở trạng thái cân bằng, quy tắc đòn bẩy không còn chính xác. Tuy nhiên, có thể đưa ra một số ước tính gần đúng, dựa trên một số giả định:

• Giả định “đóng băng” cấu trúc: Nếu hệ được làm nguội rất nhanh từ trạng thái cân bằng, có thể giả định rằng thành phần các pha “bị đóng băng” và không thay đổi đáng kể. Khi đó, có thể xấp xỉ áp dụng quy tắc đòn bẩy tại nhiệt độ ban đầu (trước khi làm nguội). Tuy nhiên, kết quả này chỉ là ước tính, và độ chính xác phụ thuộc vào tốc độ làm nguội và đặc tính của hệ.
• Sử dụng các mô hình động học: Các mô hình động học, chẳng hạn như mô hình khuếch tán, có thể được sử dụng để mô phỏng sự thay đổi thành phần pha theo thời gian. Các mô hình này thường phức tạp và đòi hỏi nhiều thông tin về hệ, nhưng có thể cung cấp ước tính chính xác hơn về tỷ lệ pha trong hệ không cân bằng.
• Thực nghiệm: Xác định tỉ lệ pha bằng thực nghiệm, như hiển vi kim tương, nhiễu xạ tia X,vv.

Tại sao đường tie-line phải là đường nằm ngang trên giản đồ pha nhiệt độ – thành phần?

Trả lời: Đường tie-line phải nằm ngang (đường đẳng nhiệt) trên giản đồ pha nhiệt độ – thành phần vì nó biểu diễn trạng thái cân bằng của hai pha ở cùng một nhiệt độ. Theo định nghĩa, các pha cân bằng với nhau phải có cùng nhiệt độ, áp suất (trong trường hợp giản đồ T-x, áp suất thường được coi là không đổi) và thế hóa học của mỗi cấu tử trong các pha. Nếu đường tie-line không nằm ngang, nó sẽ đi qua các điểm có nhiệt độ khác nhau, và do đó, không thể biểu diễn trạng thái cân bằng của hai pha.

Có thể sử dụng đơn vị nồng độ nào khác ngoài phần trăm khối lượng và phần trăm nguyên tử trong quy tắc đòn bẩy không?

Trả lời: Có, có thể sử dụng các đơn vị nồng độ khác trong quy tắc đòn bẩy, miễn là các đơn vị đó được sử dụng nhất quán cho tất cả các nồng độ ($C0$, $C\alpha$, $C_\beta$). Ví dụ, có thể sử dụng:

• Phần mol (mole fraction): Tỷ lệ số mol của một cấu tử so với tổng số mol của tất cả các cấu tử trong pha.
• Nồng độ mol (molarity): Số mol của cấu tử trong một lít dung dịch (thường ít dùng trong giản đồ pha của vật liệu rắn).
• Nồng độ phần triệu (ppm): Thường dùng cho các nguyên tố vi lượng.

Công thức tổng quát vẫn là: $W\alpha = (C\beta – C0) / (C\beta – C\alpha)$ và $W\beta = (C0 – C\alpha) / (C\beta – C\alpha)$, chỉ khác là đơn vị của C.

Nếu điểm M trên giản đồ pha nằm rất gần đường biên của vùng hai pha (ví dụ, gần đường solvus), điều này có ý nghĩa gì về mặt vi cấu trúc của hợp kim?

Trả lời: Nếu điểm M nằm rất gần đường solvus, điều này có nghĩa là một trong hai pha sẽ có tỷ lệ rất nhỏ. Ví dụ, nếu M gần đường solvus giới hạn pha α, thì pha β sẽ chỉ chiếm một phần rất nhỏ trong hợp kim. Về mặt vi cấu trúc, điều này thường có nghĩa là pha thiểu số (pha β trong ví dụ này) sẽ xuất hiện dưới dạng các hạt nhỏ, phân tán trong nền của pha đa số (pha α). Kích thước, hình dạng và sự phân bố của các hạt pha thiểu số này sẽ ảnh hưởng đáng kể đến các tính chất của hợp kim. Ví dụ, các hạt nhỏ, phân tán đều có thể làm tăng độ bền và độ cứng của hợp kim (cơ chế hóa bền bằng pha thứ hai).