Quy tắc vàng Fermi (Fermi’s Golden Rule)

Phát biểu:

Tốc độ chuyển đổi $w_{fi}$ từ trạng thái ban đầu $|i\rangle$ sang trạng thái cuối cùng $|f\rangle$ được cho bởi:

$w_{fi} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle f|H’|i \rangle|^2 \rho(E_f)$

Trong đó:

• $\hbar$ là hằng số Planck rút gọn ($\hbar = h/2\pi$).
• $H’$ là Hamiltonian nhiễu loạn, biểu thị tương tác gây ra sự chuyển đổi.
• $|\langle f|H’|i \rangle|$ là phần tử ma trận của Hamiltonian nhiễu loạn giữa trạng thái ban đầu và trạng thái cuối cùng. Nó thể hiện “cường độ” của sự chuyển đổi. Bình phương của phần tử ma trận này thể hiện xác suất chuyển đổi.
• $\rho(E_f)$ là mật độ trạng thái của các trạng thái cuối cùng tại năng lượng $E_f$. Nó đại diện cho số lượng trạng thái cuối cùng có sẵn trên một đơn vị năng lượng. Nói cách khác, nó cho biết có bao nhiêu trạng thái cuối cùng có năng lượng nằm trong khoảng $E_f$ đến $E_f + dE$.

Điều kiện áp dụng

Quy tắc vàng Fermi chỉ áp dụng khi thỏa mãn các điều kiện sau:

• Nhiễu loạn yếu: Hamiltonian nhiễu loạn $H’$ phải đủ nhỏ so với Hamiltonian không bị nhiễu loạn $H_0$. Điều này đảm bảo rằng sự chuyển đổi diễn ra chậm và có thể được mô tả bằng lý thuyết nhiễu loạn bậc nhất. Một cách định lượng, điều kiện này có thể được diễn đạt là $|\langle f|H’|i \rangle| \ll |E_f – E_i|$, với $E_i$ và $E_f$ là năng lượng của trạng thái ban đầu và trạng thái cuối cùng tương ứng.
• Tập hợp trạng thái cuối liên tục: Các trạng thái cuối cùng phải tạo thành một phổ liên tục. Điều này cho phép định nghĩa mật độ trạng thái $\rho(E_f)$.
• Thời gian tương tác dài: Thời gian tương tác giữa hệ và nhiễu loạn phải đủ dài để sự chuyển đổi có thể xảy ra, nhưng không quá dài để ảnh hưởng đến tính hợp lệ của lý thuyết nhiễu loạn bậc nhất. Cụ thể hơn, thời gian tương tác $\tau$ phải thỏa mãn $\Delta E \ll \hbar/\tau \ll |E_f – E_i|$, trong đó $\Delta E$ là độ rộng năng lượng của các trạng thái cuối cùng.

Ý nghĩa vật lý

Quy tắc vàng Fermi cho thấy tốc độ chuyển đổi tỉ lệ thuận với bình phương phần tử ma trận của Hamiltonian nhiễu loạn và mật độ trạng thái cuối cùng. Điều này có nghĩa là:

• Cường độ chuyển đổi: Sự chuyển đổi càng mạnh (phần tử ma trận càng lớn) thì tốc độ chuyển đổi càng cao. Bình phương của phần tử ma trận $|\langle f|H’|i \rangle|^2$ đại diện cho xác suất chuyển đổi từ trạng thái ban đầu sang một trạng thái cuối cùng cụ thể.
• Số lượng trạng thái cuối cùng: Số lượng trạng thái cuối cùng có sẵn càng nhiều (mật độ trạng thái càng lớn) thì tốc độ chuyển đổi càng cao. Mật độ trạng thái $\rho(E_f)$ phản ánh số lượng trạng thái cuối cùng mà hệ có thể chuyển đổi sang.

Ứng dụng

Quy tắc vàng Fermi được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của vật lý, bao gồm:

• Vật lý nguyên tử và phân tử: Tính toán tốc độ chuyển đổi trong các quá trình hấp thụ và phát xạ photon.
• Vật lý hạt nhân: Tính toán tốc độ phân rã phóng xạ.
• Vật lý chất rắn: Nghiên cứu sự tán xạ của electron trong tinh thể.
• Quang học lượng tử: Mô tả sự tương tác giữa ánh sáng và vật chất.
• Hóa học lượng tử: Nghiên cứu tốc độ phản ứng hóa học.

Lưu ý

Quy tắc vàng Fermi chỉ là một phép xấp xỉ và có những giới hạn nhất định. Trong một số trường hợp, cần sử dụng các phương pháp phức tạp hơn để tính toán tốc độ chuyển đổi chính xác. Đặc biệt, quy tắc vàng Fermi không áp dụng được khi nhiễu loạn mạnh hoặc khi các trạng thái cuối cùng không tạo thành một phổ liên tục.

Suy ra từ lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian

Quy tắc vàng Fermi có thể được suy ra từ lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian. Xét một hệ lượng tử chịu tác động của một Hamiltonian nhiễu loạn $H'(t)$, có thể được viết dưới dạng:

$H'(t) = H’ e^{-i\omega t} + H’^{\dagger} e^{i\omega t}$

trong đó $\omega$ là tần số của nhiễu loạn. Xác suất chuyển đổi từ trạng thái ban đầu $|i\rangle$ sang trạng thái cuối cùng $|f\rangle$ sau thời gian $t$ được cho bởi:

$P_{fi}(t) = \frac{1}{\hbar^2} \left| \int0^t \langle f|H'(t’)|i \rangle e^{i\omega{fi}t’} dt’ \right|^2$

với $\omega_{fi} = (E_f – E_i)/\hbar$. Trong trường hợp nhiễu loạn điều hòa và thời gian tương tác dài, ta có thể tính tích phân này và thu được:

$P_{fi}(t) \approx \frac{2\pi t}{\hbar} |\langle f|H’|i \rangle|^2 \delta(E_f – E_i – \hbar\omega)$

Đối với một tập hợp các trạng thái cuối cùng liên tục, ta thay hàm delta Dirac bằng mật độ trạng thái $\rho(Ef)$, và tốc độ chuyển đổi $w{fi}$ được định nghĩa là xác suất chuyển đổi trên một đơn vị thời gian:

$w{fi} = \frac{dP{fi}(t)}{dt} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle f|H’|i \rangle|^2 \rho(E_f)$

Ví dụ

Một ví dụ điển hình của việc áp dụng Quy tắc vàng Fermi là tính toán tốc độ hấp thụ photon của một nguyên tử. Trong trường hợp này, Hamiltonian nhiễu loạn là tương tác giữa nguyên tử và trường điện từ của photon. Phần tử ma trận $\langle f|H’|i \rangle$ sẽ liên quan đến mômen lưỡng cực chuyển tiếp của nguyên tử, và mật độ trạng thái $\rho(E_f)$ liên quan đến mật độ photon ở năng lượng tương ứng.

Mở rộng và các trường hợp đặc biệt

Quy tắc vàng Fermi có thể được mở rộng cho các trường hợp phức tạp hơn, ví dụ như khi có nhiều hơn một đường dẫn chuyển đổi giữa trạng thái ban đầu và trạng thái cuối cùng. Trong những trường hợp này, phần tử ma trận $\langle f|H’|i \rangle$ sẽ được thay thế bằng tổng các phần tử ma trận tương ứng với từng đường dẫn.

[customtextbox title=”Tóm tắt về Quy tắc vàng Fermi” bgcolor=”#e8ffee” titlebgcolor=”#009829″]
Quy tắc vàng Fermi là một công cụ mạnh mẽ trong cơ học lượng tử, cho phép ta tính toán tốc độ chuyển đổi giữa các trạng thái lượng tử dưới tác động của một nhiễu loạn yếu. Cần nhớ rằng công thức này chỉ là một phép xấp xỉ, chỉ áp dụng được khi nhiễu loạn đủ yếu và tập hợp trạng thái cuối cùng là liên tục. Công thức của quy tắc vàng Fermi là: $w{fi} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle f|H’|i \rangle|^2 \rho(E_f)$. Hãy ghi nhớ ý nghĩa của từng thành phần trong công thức: $\hbar$ là hằng số Planck rút gọn, $H’$ là Hamiltonian nhiễu loạn, $|\langle f|H’|i \rangle|$ là phần tử ma trận chuyển tiếp, và $\rho(E_f)$ là mật độ trạng thái cuối cùng.

Một điểm quan trọng cần lưu ý là điều kiện nhiễu loạn yếu. Nếu nhiễu loạn quá mạnh, lý thuyết nhiễu loạn bậc nhất sẽ không còn chính xác và quy tắc vàng Fermi sẽ không còn áp dụng được. Trong trường hợp này, cần phải sử dụng các phương pháp phức tạp hơn để tính toán tốc độ chuyển đổi. Tương tự, mật độ trạng thái cuối cùng phải liên tục để công thức có ý nghĩa. Nếu trạng thái cuối cùng là rời rạc, cần phải điều chỉnh công thức cho phù hợp.

Cuối cùng, cần phải hiểu rõ ý nghĩa vật lý của quy tắc vàng Fermi. Tốc độ chuyển đổi tỉ lệ thuận với bình phương phần tử ma trận chuyển tiếp và mật độ trạng thái cuối cùng. Điều này có nghĩa là sự chuyển đổi càng mạnh (phần tử ma trận càng lớn) và số lượng trạng thái cuối cùng có sẵn càng nhiều (mật độ trạng thái càng lớn) thì tốc độ chuyển đổi càng cao. Nắm vững những điểm này sẽ giúp bạn áp dụng quy tắc vàng Fermi một cách hiệu quả trong các bài toán vật lý.

[/custom_textbox]

Tài liệu tham khảo

* David J. Griffiths, “Introduction to Quantum Mechanics”, 2nd ed., Pearson Prentice Hall, 2005.
* J.J. Sakurai, “Modern Quantum Mechanics”, Revised Edition, Addison-Wesley, 1994.
* Eugen Merzbacher, “Quantum Mechanics”, 3rd ed., John Wiley & Sons, 1998.

Câu hỏi và Giải đáp

Quy tắc vàng Fermi chỉ áp dụng cho nhiễu loạn yếu. Vậy “yếu” ở đây được định lượng như thế nào?

Trả lời: “Yếu” ở đây nghĩa là Hamiltonian nhiễu loạn $H’$ phải nhỏ hơn đáng kể so với Hamiltonian không bị nhiễu loạn $H_0$. Về mặt định lượng, điều này có nghĩa là sự thay đổi năng lượng do nhiễu loạn gây ra phải nhỏ hơn nhiều so với khoảng cách năng lượng giữa các mức năng lượng của hệ không bị nhiễu loạn. Một cách khác để đánh giá là thời gian chuyển đổi tính toán bởi Quy tắc vàng Fermi phải lớn hơn nhiều so với chu kỳ dao động đặc trưng của hệ không bị nhiễu loạn.

Làm thế nào để tính mật độ trạng thái $\rho(E_f)$ trong các trường hợp cụ thể?

Trả lời: Việc tính toán mật độ trạng thái phụ thuộc vào hệ cụ thể đang xét. Đối với các hạt tự do trong một hộp thể tích $V$, mật độ trạng thái được cho bởi $\rho(E) = \frac{V}{(2\pi\hbar)^3} 4\pi p^2 \frac{dp}{dE}$, với $p$ là động lượng và $E$ là năng lượng của hạt. Đối với các hệ phức tạp hơn, việc tính toán mật độ trạng thái có thể yêu cầu các phương pháp phức tạp hơn, ví dụ như sử dụng lý thuyết hàm mật độ.

Điều gì xảy ra nếu tập hợp trạng thái cuối cùng không phải là liên tục mà là rời rạc?

Trả lời: Nếu tập hợp trạng thái cuối cùng là rời rạc, ta không thể định nghĩa mật độ trạng thái $\rho(Ef)$ theo cách thông thường. Trong trường hợp này, quy tắc vàng Fermi được sửa đổi thành: $w{fi} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle f|H’|i \rangle|^2 \delta(E_f – E_i)$, với $\delta(E_f – E_i)$ là hàm delta Dirac, thể hiện sự bảo toàn năng lượng.

Quy tắc vàng Fermi có thể được áp dụng cho các hệ nhiều hạt không?

Trả lời: Có, quy tắc vàng Fermi có thể được áp dụng cho các hệ nhiều hạt. Tuy nhiên, việc tính toán phần tử ma trận chuyển tiếp $\langle f|H’|i \rangle$ và mật độ trạng thái $\rho(E_f)$ sẽ phức tạp hơn nhiều so với trường hợp một hạt.

Ngoài lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian, còn cách nào khác để suy ra quy tắc vàng Fermi không?

Trả lời: Có, quy tắc vàng Fermi cũng có thể được suy ra từ phương pháp phân rã hàm Green-Kubo, một phương pháp tổng quát hơn để nghiên cứu động học của các hệ lượng tử. Phương pháp này cho phép ta tính toán tốc độ chuyển đổi mà không cần giả sử nhiễu loạn yếu. Tuy nhiên, việc tính toán thường phức tạp hơn so với sử dụng lý thuyết nhiễu loạn.