Số Nusselt (Nusselt Number)

Về bản chất, số Nusselt cho biết mức độ tăng cường của quá trình truyền nhiệt khi có sự tham gia của dòng chảy đối lưu.

• Khi $Nu = 1$, lớp chất lưu có thể được xem là đứng yên và quá trình truyền nhiệt chỉ diễn ra bằng hình thức dẫn nhiệt qua lớp chất lưu đó.
• Khi $Nu > 1$, sự chuyển động của chất lưu đã làm tăng cường hiệu quả truyền nhiệt. Giá trị số Nusselt càng lớn, hiệu quả truyền nhiệt đối lưu càng mạnh mẽ so với truyền nhiệt dẫn.

Định nghĩa toán học

Số Nusselt được định nghĩa bằng công thức:

$Nu_L = \frac{hL}{k_f}$

Trong đó:

• $h$ là hệ số truyền nhiệt đối lưu (convective heat transfer coefficient) [$W/(m^2 \cdot K)$].
• $L$ là chiều dài đặc trưng (characteristic length) [$m$]. Việc lựa chọn chiều dài đặc trưng phụ thuộc vào hình dạng của vật thể và hướng dòng chảy, ví dụ: đường kính ngoài của hình trụ, đường kính trong của ống, hoặc chiều dài của một tấm phẳng.
• $k_f$ là hệ số dẫn nhiệt của chất lưu (thermal conductivity of the fluid) [$W/(m \cdot K)$], không phải của vật rắn.

Xác định Số Nusselt và các mối quan hệ thực nghiệm

Trong thực tế, việc xác định hệ số truyền nhiệt đối lưu $h$ và số Nusselt $Nu$ bằng phương pháp giải tích trực tiếp là vô cùng phức tạp, chỉ khả thi cho một số ít trường hợp hình học và điều kiện dòng chảy đơn giản. Do đó, số Nusselt thường được xác định thông qua các công thức thực nghiệm, được xây dựng từ vô số thí nghiệm. Các công thức này biểu diễn số Nusselt dưới dạng một hàm của các số không thứ nguyên khác, chủ yếu là số Reynolds ($Re$), số Prandtl ($Pr$), và số Grashof ($Gr$).

$Nu = f(Re, Pr, Gr, …)$

Các thông số này đại diện cho các yếu tố vật lý ảnh hưởng đến quá trình truyền nhiệt:

• Chế độ dòng chảy (đối lưu cưỡng bức): Trong đối lưu cưỡng bức, dòng chảy được tạo ra bởi một tác nhân bên ngoài (bơm, quạt). Chế độ dòng chảy (tầng hay rối) được quyết định bởi số Reynolds ($Re$), là tỉ số giữa lực quán tính và lực nhớt. Dòng chảy rối ($Re$ lớn) gây ra sự xáo trộn mạnh mẽ, làm tăng đáng kể hệ số truyền nhiệt và do đó làm tăng số Nusselt.
• Tính chất của chất lưu: Các tính chất của chất lưu được gói gọn trong số Prandtl ($Pr$), là tỉ số giữa độ khuếch tán động lượng (độ nhớt động học) và độ khuếch tán nhiệt. Số Prandtl cho biết mối tương quan giữa bề dày của lớp biên vận tốc và lớp biên nhiệt.
• Cơ chế truyền động (đối lưu tự nhiên): Trong đối lưu tự nhiên, dòng chảy được hình thành do sự chênh lệch khối lượng riêng gây ra bởi chênh lệch nhiệt độ. Lực đẩy nổi này được đặc trưng bởi số Grashof ($Gr$).
• Hình dạng hình học và điều kiện biên: Hình dạng (tấm phẳng, ống, hình cầu), kích thước (được thể hiện qua chiều dài đặc trưng $L$) và điều kiện biên nhiệt (nhiệt độ bề mặt không đổi hoặc dòng nhiệt không đổi) đều ảnh hưởng đến các hằng số và số mũ trong công thức thực nghiệm.

Một số công thức thực nghiệm tiêu biểu

Dưới đây là một vài ví dụ về các công thức thực nghiệm phổ biến dùng để tính số Nusselt trong các trường hợp cụ thể:

• Dòng chảy tầng phát triển hoàn toàn trong ống tròn: Đối với trường hợp này, số Nusselt là một hằng số, không phụ thuộc vào số Reynolds và Prandtl.
  • $Nu = 3.66$ (với điều kiện biên nhiệt độ bề mặt không đổi).
  • $Nu = 4.36$ (với điều kiện biên thông lượng nhiệt bề mặt không đổi).
• Dòng chảy rối trong ống tròn (Công thức Dittus-Boelter): Một trong những công thức nổi tiếng nhất cho đối lưu cưỡng bức trong ống, áp dụng cho dòng chảy phát triển hoàn toàn.
  $Nu = 0.023 Re^{0.8} Pr^{n}$
  Trong đó $n = 0.4$ khi chất lưu được gia nhiệt (nhiệt độ bề mặt lớn hơn nhiệt độ chất lưu) và $n = 0.3$ khi chất lưu được làm mát. Công thức này cho kết quả tốt trong khoảng $0.6 \le Pr \le 160$ và $Re \ge 10000$.
• Đối lưu tự nhiên trên tấm phẳng đứng: Công thức thường có dạng tổng quát:
  $Nu = C (Gr \cdot Pr)^m = C \cdot Ra^m$
  Trong đó $Ra$ là số Rayleigh ($Ra = Gr \cdot Pr$). Các hằng số $C$ và $m$ phụ thuộc vào giá trị của số Rayleigh, tương ứng với chế độ dòng chảy tầng hay rối.

Ứng dụng

Số Nusselt là một tham số cốt lõi trong kỹ thuật và khoa học, với các ứng dụng trải rộng trên nhiều lĩnh vực quan trọng:

• Thiết kế và tối ưu hóa thiết bị trao đổi nhiệt: Đây là ứng dụng phổ biến nhất. Các kỹ sư sử dụng số Nusselt để tính toán hệ số truyền nhiệt đối lưu $h$, từ đó xác định diện tích bề mặt truyền nhiệt cần thiết, giúp thiết kế các bộ trao đổi nhiệt, lò hơi, và bình ngưng tụ có hiệu suất cao và kích thước hợp lý.
• Kỹ thuật làm mát điện tử: Trong việc thiết kế tản nhiệt cho CPU, GPU và các linh kiện bán dẫn công suất lớn, số Nusselt giúp xác định khả năng của dòng không khí (hoặc chất lỏng) trong việc loại bỏ nhiệt, đảm bảo các thiết bị hoạt động trong giới hạn nhiệt độ an toàn.
• Hệ thống HVAC (Sưởi ấm, Thông gió và Điều hòa không khí): Tính toán sự truyền nhiệt từ các dàn nóng/lạnh, đường ống dẫn khí, và trong các không gian trong nhà đều dựa vào các mối quan hệ liên quan đến số Nusselt.
• Mô phỏng số (CFD) và phân tích các quy trình công nghiệp: Trong các phần mềm mô phỏng, số Nusselt được dùng để kiểm chứng (validate) kết quả mô phỏng truyền nhiệt đối lưu và để tối ưu hóa các quy trình như làm nguội thép, sấy khô sản phẩm, và các lò phản ứng hóa học.
• Khoa học khí quyển và hải dương học: Các nhà khoa học sử dụng các khái niệm tương tự để mô hình hóa sự trao đổi nhiệt giữa đại dương và khí quyển, một yếu tố quan trọng trong việc dự báo thời tiết và nghiên cứu biến đổi khí hậu.

Ví dụ Tính toán Minh họa

Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng số Nusselt vào thực tế, hãy xem xét bài toán sau:

Bài toán:
Nước chảy bên trong một đường ống tròn có đường kính trong $D = 0.02 m$ với vận tốc trung bình $v = 0.5 m/s$. Nhiệt độ khối trung bình của nước là $T_b = 60^\circ C$, và bề mặt thành trong của ống được duy trì ở nhiệt độ không đổi $T_s = 80^\circ C$. Hãy tính hệ số truyền nhiệt đối lưu ($h$) giữa nước và thành ống.

Các bước giải:

1. Xác định tính chất vật lý của nước:
   Các tính chất của chất lưu phải được tra ở nhiệt độ màng (film temperature), $T_f = (T_s + T_b) / 2 = (80 + 60) / 2 = 70^\circ C$. Tra bảng tính chất của nước ở $70^\circ C$, ta có:
   • Khối lượng riêng: $\rho = 977.8 \text{ kg/m}^3$
   • Độ nhớt động lực: $\mu = 4.042 \times 10^{-4} \text{ kg/(m}\cdot\text{s)}$
   • Hệ số dẫn nhiệt: $k = 0.663 \text{ W/(m}\cdot\text{K)}$
   • Số Prandtl: $Pr = 2.55$
2. Tính số Reynolds ($Re$) để xác định chế độ dòng chảy:
   $Re = \frac{\rho v D}{\mu} = \frac{977.8 \times 0.5 \times 0.02}{4.042 \times 10^{-4}} \approx 24191$Vì $Re > 10000$, dòng chảy được xem là chảy rối hoàn toàn.
3. Áp dụng công thức thực nghiệm phù hợp:
   Đối với dòng chảy rối trong ống tròn, ta có thể sử dụng công thức Dittus-Boelter. Vì nước đang được gia nhiệt ($T_s > T_b$), số mũ của số Prandtl là $n=0.4$.
   $Nu = 0.023 Re^{0.8} Pr^{0.4}$
4. Tính số Nusselt ($Nu$):
   $Nu = 0.023 \times (24191)^{0.8} \times (2.55)^{0.4} \approx 104.0$
5. Từ số Nusselt, tính hệ số truyền nhiệt đối lưu ($h$):
   Từ định nghĩa $Nu = \frac{hD}{k}$, ta có:
   $h = \frac{Nu \cdot k}{D} = \frac{104.0 \times 0.663}{0.02} \approx 3447 \text{ W/(m}^2\cdot\text{K)}$

Kết quả: Hệ số truyền nhiệt đối lưu trung bình giữa nước và thành ống là khoảng $3447 \text{ W/(m}^2\cdot\text{K)}$.

Hạn chế và Lưu ý khi sử dụng

Mặc dù rất hữu ích, cần nhận thức rõ một số hạn chế và điều kiện khi làm việc với số Nusselt:

• Phạm vi áp dụng của công thức thực nghiệm: Các công thức tính $Nu$ đều được xây dựng từ dữ liệu thí nghiệm trong những điều kiện nhất định. Việc ngoại suy chúng ra ngoài phạm vi cho phép của số Reynolds, số Prandtl, hay điều kiện hình học có thể dẫn đến sai số lớn.
• Giá trị trung bình và cục bộ: Hầu hết các công thức đều cho số Nusselt trung bình trên toàn bộ bề mặt. Tuy nhiên, hệ số truyền nhiệt cục bộ có thể thay đổi đáng kể dọc theo bề mặt (ví dụ, ở vùng lối vào của ống, $h$ rất cao và giảm dần).
• Sự phức tạp của hình học: Đối với các hình dạng phức tạp, việc xác định chiều dài đặc trưng $L$ và tìm ra công thức thực nghiệm phù hợp có thể rất khó khăn. Trong những trường hợp này, phương pháp mô phỏng số (CFD) thường được ưu tiên.
• Ảnh hưởng của bức xạ nhiệt: Số Nusselt chỉ xét đến truyền nhiệt đối lưu và dẫn nhiệt. Ở nhiệt độ cao, truyền nhiệt do bức xạ có thể trở nên đáng kể và cần được tính toán riêng biệt.

Tài liệu Tham khảo

1. Incropera, F. P., DeWitt, D. P., Bergman, T. L., & Lavine, A. S. (2007). Fundamentals of Heat and Mass Transfer (6th ed.). John Wiley & Sons.
2. Çengel, Y. A., & Ghajar, A. J. (2015). Heat and Mass Transfer: Fundamentals and Applications (5th ed.). McGraw-Hill Education.
3. Holman, J. P. (2010). Heat Transfer (10th ed.). McGraw-Hill.
4. Bejan, A. (2013). Convection Heat Transfer (4th ed.). John Wiley & Sons.

Tóm tắt về Số Nusselt

Số Nusselt ($Nu$) là một số không thứ nguyên cực kỳ quan trọng trong lĩnh vực truyền nhiệt. Nó cung cấp một thước đo tương đối giữa truyền nhiệt đối lưu và truyền nhiệt dẫn qua một bề mặt. Khi $Nu = 1$, truyền nhiệt xảy ra hoàn toàn bằng dẫn nhiệt. Khi $Nu > 1$, truyền nhiệt đối lưu bắt đầu đóng vai trò, và giá trị $Nu$ càng lớn cho thấy sự vượt trội của đối lưu so với dẫn nhiệt.

Công thức định nghĩa của số Nusselt là $Nu = \frac{hL}{k}$. Trong đó, $h$ là hệ số truyền nhiệt đối lưu, $L$ là chiều dài đặc trưng, và $k$ là hệ số dẫn nhiệt của lưu chất. Việc lựa chọn chiều dài đặc trưng ($L$) phụ thuộc vào hình dạng hình học và hướng của dòng chảy. Hãy luôn nhớ rằng $L$ không phải lúc nào cũng là kích thước lớn nhất của vật thể.

Số Nusselt không phải là một hằng số cố định. Nó phụ thuộc vào nhiều yếu tố, bao gồm chế độ dòng chảy (tầng hay rối), tính chất của lưu chất (như độ nhớt, hệ số dẫn nhiệt), hình dạng hình học của bề mặt truyền nhiệt, và các điều kiện biên. Dòng chảy rối thường có số Nusselt cao hơn đáng kể so với dòng chảy tầng. Điều này là do sự trộn lẫn mạnh mẽ của lưu chất trong dòng chảy rối tăng cường khả năng truyền nhiệt.

Trong thực tế, chúng ta thường sử dụng các mối quan hệ thực nghiệm để tính toán số Nusselt. Các mối quan hệ này, ví dụ như phương trình Dittus-Boelter cho dòng chảy rối trong ống tròn ($Nu = 0.023 Re^{0.8} Pr^{n}$), thường biểu diễn $Nu$ như một hàm của các số không thứ nguyên khác như số Reynolds ($Re$) và số Prandtl ($Pr$). Điều quan trọng là phải chọn mối quan hệ thực nghiệm phù hợp với điều kiện cụ thể của bài toán (ví dụ: loại dòng chảy, hình dạng hình học, dải giá trị $Re$ và $Pr$). Đừng quên kiểm tra phạm vi áp dụng của các mối quan hệ thực nghiệm này.

Cuối cùng, hãy nhớ rằng số Nusselt có những hạn chế. Nó thường đại diện cho các giá trị trung bình và có thể không phản ánh chính xác quá trình truyền nhiệt cục bộ. Các mối quan hệ thực nghiệm có độ chính xác giới hạn và không tính đến truyền nhiệt bức xạ. Mặc dù vậy, số Nusselt vẫn là một công cụ vô cùng hữu ích trong việc phân tích và thiết kế các hệ thống truyền nhiệt.

Câu hỏi và Giải đáp

Số Nusselt có thể nhỏ hơn 1 không? Nếu có, điều đó có ý nghĩa gì?

Trả lời:

Về mặt lý thuyết, số Nusselt không thể nhỏ hơn 1. Theo định nghĩa, $Nu = \frac{hL}{k}$, trong đó $h$, $L$, và $k$ đều là các đại lượng dương. Giá trị nhỏ nhất của $h$ (hệ số truyền nhiệt đối lưu) là 0, xảy ra khi không có truyền nhiệt đối lưu (chỉ có dẫn nhiệt thuần túy). Trong trường hợp này, $Nu$ sẽ tiến tới 0 nếu ta xét giới hạn, tuy nhiên định nghĩa $Nu =1$ được chấp nhận rộng rãi hơn để biểu thị trạng thái truyền nhiệt chỉ có dẫn nhiệt.

Nếu trong một bài toán thực tế, bạn tính toán ra một giá trị $Nu$ nhỏ hơn 1 (ví dụ: 0.8), điều đó có nghĩa là có lỗi trong quá trình tính toán hoặc mô hình hóa. Có thể bạn đã:

• Sử dụng sai mối quan hệ thực nghiệm.
• Tính toán sai các thông số đầu vào (ví dụ: $h$, $L$, $k$).
• Mô hình hóa hệ thống không chính xác (ví dụ: bỏ qua các yếu tố quan trọng).
• Sử dụng các đại lượng không tương thích đơn vị.

Tại sao số Nusselt lại quan trọng trong việc thiết kế bộ trao đổi nhiệt?

Trả lời:

Trong thiết kế bộ trao đổi nhiệt, mục tiêu chính là tối đa hóa sự truyền nhiệt giữa hai lưu chất. Số Nusselt cho biết mức độ hiệu quả của quá trình truyền nhiệt đối lưu so với truyền nhiệt dẫn.

• Xác định hệ số truyền nhiệt: Số Nusselt giúp xác định hệ số truyền nhiệt đối lưu ($h$), là một thông số quan trọng trong việc tính toán tổng trở nhiệt của bộ trao đổi nhiệt.
• Tối ưu hóa diện tích truyền nhiệt: Bằng cách hiểu rõ mối quan hệ giữa số Nusselt và các yếu tố ảnh hưởng (ví dụ: chế độ dòng chảy, hình dạng hình học), các kỹ sư có thể thiết kế bộ trao đổi nhiệt với diện tích truyền nhiệt tối ưu, đảm bảo hiệu suất truyền nhiệt cao nhất.
• Dự đoán hiệu suất: Số Nusselt giúp dự đoán hiệu suất của bộ trao đổi nhiệt trong các điều kiện vận hành khác nhau.

Làm thế nào để tăng số Nusselt trong một hệ thống truyền nhiệt?

Trả lời:

Có nhiều cách để tăng số Nusselt, tức là tăng cường truyền nhiệt đối lưu:

1. Tăng vận tốc dòng chảy: Tăng vận tốc dòng chảy (tăng số Reynolds) thường dẫn đến số Nusselt cao hơn, đặc biệt trong chế độ dòng chảy rối.
2. Sử dụng các bề mặt mở rộng (extended surfaces): Các bề mặt mở rộng, như cánh tản nhiệt, làm tăng diện tích bề mặt tiếp xúc giữa lưu chất và bề mặt rắn, từ đó tăng cường truyền nhiệt.
3. Tạo ra dòng chảy rối: Sử dụng các thiết bị gây rối (turbulators) hoặc các hình dạng hình học đặc biệt để tạo ra dòng chảy rối, tăng cường sự trộn lẫn của lưu chất.
4. Sử dụng chất lỏng có tính chất truyền nhiệt tốt hơn: Chọn lưu chất có hệ số dẫn nhiệt ($k$) cao và độ nhớt thấp.
5. Thay đổi điều kiện biên: Trong một số trường hợp thay đổi điều kiện nhiệt độ ở bề mặt, ví dụ chuyển từ điều kiện nhiệt độ không đổi sang thông lượng nhiệt không đổi, có thể tăng giá trị số Nusselt.

Số Nusselt trung bình và số Nusselt cục bộ khác nhau như thế nào?

Trả lời:

• Số Nusselt cục bộ ($Nu_x$): Biểu thị tỷ lệ giữa truyền nhiệt đối lưu và truyền nhiệt dẫn tại một vị trí cụ thể trên bề mặt truyền nhiệt. Nó thường phụ thuộc vào vị trí ($x$) trên bề mặt. Ví dụ trong dòng chảy trên một tấm phẳng, $Nu_x$ sẽ thay đổi dọc theo chiều dài tấm.
• Số Nusselt trung bình ($overline{Nu}$): Là giá trị trung bình của số Nusselt cục bộ trên toàn bộ bề mặt truyền nhiệt. Nó được tính bằng cách lấy tích phân của số Nusselt cục bộ trên toàn bộ diện tích bề mặt, sau đó chia cho diện tích đó.$overline{Nu} = \frac{1}{A} int_{A} Nu_x dA$ (trong đó $A$ là diện tích bề mặt).

  Số Nusselt trung bình thường được sử dụng trong các tính toán thiết kế vì nó cung cấp một giá trị duy nhất đại diện cho toàn bộ bề mặt.

Mối quan hệ giữa số Nusselt và lớp biên nhiệt là gì?

Trả lời:
Số Nusselt có liên quan mật thiết với khái niệm lớp biên nhiệt.

• Lớp biên nhiệt: Là một lớp mỏng của lưu chất sát bề mặt rắn, nơi nhiệt độ thay đổi từ nhiệt độ bề mặt ($Ts$) đến nhiệt độ của dòng chảy chính ($T\infty$).
• Mối liên hệ: Số Nusselt có thể được diễn giải theo độ dày của lớp biên nhiệt ($\delta_t$). Nếu coi gradient nhiệt độ trong lớp biên nhiệt là tuyến tính, ta có thể viết gần đúng:$h \approx \frac{k}{\delta_t}$

  Thay vào định nghĩa số Nusselt:

  $Nu = \frac{hL}{k} \approx \frac{k}{\delta_t} \cdot \frac{L}{k} = \frac{L}{\delta_t}$

• Ý nghĩa: Biểu thức gần đúng này ($Nu \approx L / \delta_t$) cho thấy số Nusselt tỷ lệ nghịch với độ dày tương đối của lớp biên nhiệt. Khi lớp biên nhiệt mỏng hơn ($\delta_t$ nhỏ), số Nusselt lớn hơn, cho thấy truyền nhiệt đối lưu hiệu quả hơn. Ngược lại, lớp biên nhiệt dày hơn cho thấy truyền nhiệt đối lưu kém hiệu quả hơn. Các yếu tố làm giảm độ dày lớp biên (ví dụ: tăng vận tốc dòng chảy, tạo dòng chảy rối) sẽ làm tăng số Nusselt.