Số sóng (Wave Number)

Định nghĩa

Số sóng ($k$) được định nghĩa là $2\pi$ chia cho bước sóng ($\lambda$):

$k = \frac{2\pi}{\lambda}$

Trong đó:

• $k$: số sóng (đơn vị: radian trên mét, rad/m)
• $\lambda$: bước sóng (đơn vị: mét, m)

Ý nghĩa vật lý

Số sóng càng lớn, bước sóng càng ngắn, và sóng càng “dày đặc” trong không gian. Điều này có nghĩa là sóng dao động nhiều hơn trong một khoảng cách nhất định. Ngược lại, số sóng càng nhỏ, bước sóng càng dài, và sóng càng “thưa thớt”. Số sóng liên quan trực tiếp đến tần số không gian của sóng, thể hiện sự thay đổi của pha sóng theo khoảng cách.

Mối liên hệ với các đại lượng khác

• Tần số góc ($\omega$): Số sóng liên hệ với tần số góc ($\omega$) và tốc độ pha ($v$) của sóng theo công thức: $v = \frac{\omega}{k}$.
• Tần số ($f$): Kết hợp với công thức trên và $\omega = 2\pi f$, ta có: $k = \frac{2\pi f}{v} = \frac{2\pi}{\lambda}$.
• Vectơ sóng ($\vec{k}$): Trong trường hợp sóng lan truyền trong không gian ba chiều, số sóng được biểu diễn dưới dạng vectơ sóng ($\vec{k}$). Hướng của vectơ sóng chỉ hướng lan truyền của sóng, và độ lớn của nó chính là số sóng ($k$).

Ứng dụng

Số sóng được sử dụng rộng rãi trong vật lý, đặc biệt là trong các lĩnh vực sau:

• Quang học: Mô tả sự lan truyền của ánh sáng.
• Âm học: Mô tả sự lan truyền của âm thanh.
• Cơ học lượng tử: Số sóng xuất hiện trong phương trình Schrödinger, mô tả trạng thái lượng tử của hạt. Động lượng của một hạt được liên hệ với số sóng qua công thức $p = \hbar k$, trong đó $\hbar$ là hằng số Planck rút gọn.
• Xử lý tín hiệu: Phân tích các tín hiệu sóng.

Lưu ý

Đôi khi, số sóng cũng được định nghĩa là nghịch đảo của bước sóng mà không có hệ số $2\pi$. Định nghĩa này thường được dùng trong quang phổ học và được ký hiệu bằng $\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda}$. Đơn vị của $\tilde{\nu}$ thường là cm⁻¹ (số sóng trên centimet). Cần phân biệt rõ hai định nghĩa này để tránh nhầm lẫn.

Phân biệt Số Sóng Góc (Angular Wavenumber) và Số Sóng Tuyến Tính (Linear Wavenumber)

Như đã đề cập, đôi khi số sóng được định nghĩa mà không có hệ số $2\pi$. Điều này dẫn đến sự phân biệt giữa số sóng góc (angular wavenumber), ký hiệu là $k$, và số sóng tuyến tính (linear wavenumber), thường ký hiệu là $\sigma$, $\nu$ hoặc $\tilde{\nu}$.

• Số sóng góc ($k$): $k = \frac{2\pi}{\lambda}$. Đại lượng này liên hệ trực tiếp với tần số góc và thể hiện sự thay đổi pha theo radian trên một đơn vị độ dài. Đơn vị thường dùng là rad/m.
• Số sóng tuyến tính ($\tilde{\nu}$): $\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda}$. Đại lượng này thể hiện số chu kỳ sóng trên một đơn vị độ dài. Đơn vị thường dùng là m⁻¹ hoặc cm⁻¹ (trong quang phổ học).

Việc sử dụng số sóng góc hay số sóng tuyến tính phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể. Trong vật lý, số sóng góc thường được sử dụng hơn vì mối liên hệ trực tiếp của nó với tần số góc và các đại lượng sóng khác. Trong quang phổ học, số sóng tuyến tính thường được sử dụng để biểu diễn số sóng của các vạch phổ.

Số sóng trong không gian nhiều chiều

Khi sóng lan truyền trong không gian nhiều chiều, số sóng được biểu diễn dưới dạng một vectơ, gọi là vectơ sóng $\vec{k}$. Độ lớn của vectơ sóng là số sóng $k$, và hướng của nó là hướng lan truyền của sóng. Vectơ sóng rất hữu ích trong việc mô tả sóng phẳng và các hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ.

Ví dụ

Một sóng ánh sáng đỏ có bước sóng $\lambda = 700$ nm. Số sóng góc của sóng này là:

$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{700 \times 10^{-9}\,\text{m}} \approx 8.98 \times 10^6$ rad/m

Số sóng tuyến tính của sóng này là:

$\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{700 \times 10^{-9}\,\text{m}} \approx 1.43 \times 10^6$ m⁻¹ $= 14300$ cm⁻¹

• Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2014). Physics for scientists and engineers with modern physics. Cengage learning.
• Hecht, E. (2017). Optics. Pearson Education.
• Griffiths, D. J. (2018). Introduction to electrodynamics. Cambridge university press.
• French, A. P. (1971). Vibrations and waves (Vol. 3). CRC press.

Câu hỏi và Giải đáp

Câu 1: Sự khác biệt chính giữa số sóng và bước sóng là gì, và tại sao cả hai đại lượng này đều hữu ích trong việc mô tả sóng?

Trả lời: Bước sóng ($\lambda$) là khoảng cách vật lý giữa hai điểm tương ứng trên một sóng, thường được đo bằng mét. Số sóng ($k$) là đại lượng liên quan đến bước sóng, được định nghĩa là $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, biểu thị số radian trên một đơn vị độ dài. Cả hai đều hữu ích, nhưng số sóng thuận tiện hơn khi làm việc với các phương trình sóng và mô tả sự thay đổi pha, trong khi bước sóng trực quan hơn khi hình dung khoảng cách vật lý của sóng.

Câu 2: Làm thế nào để vectơ sóng ($\vec{k}$) giúp mô tả sóng phẳng trong không gian ba chiều?

Trả lời: Vectơ sóng $\vec{k}$ chỉ hướng lan truyền của sóng phẳng và độ lớn của nó là số sóng $k$. Một sóng phẳng có thể được biểu diễn bằng hàm $A e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} – \omega t)}$, trong đó $\vec{r}$ là vectơ vị trí, $\omega$ là tần số góc, và $A$ là biên độ. Vectơ sóng cho phép chúng ta xác định hướng lan truyền và mật độ không gian của sóng trong không gian ba chiều.

Câu 3: Tại sao số sóng tuyến tính thường được sử dụng trong quang phổ học?

Trả lời: Số sóng tuyến tính, $\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda}$, thường được đo bằng cm⁻¹, tương ứng với số sóng trên một centimet. Đơn vị này thuận tiện trong quang phổ học vì các vạch phổ thường nằm trong vùng bước sóng từ vài trăm nanomet đến vài micromet, tương ứng với số sóng tuyến tính từ vài nghìn đến vài chục nghìn cm⁻¹. Sử dụng số sóng tuyến tính giúp đơn giản hóa việc biểu diễn và so sánh các vạch phổ.

Câu 4: Mối liên hệ giữa số sóng và năng lượng của một photon là gì?

Trả lời: Năng lượng của một photon được cho bởi $E = hf = \frac{hc}{\lambda}$, trong đó $h$ là hằng số Planck, $f$ là tần số, $c$ là tốc độ ánh sáng, và $\lambda$ là bước sóng. Vì $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, nên $E = \frac{hc}{2\pi}k = \hbar ck$, trong đó $\hbar$ là hằng số Planck rút gọn. Như vậy, năng lượng của photon tỉ lệ thuận với số sóng.

Câu 5: Số sóng thay đổi như thế nào khi sóng truyền từ một môi trường sang một môi trường khác?

Trả lời: Khi sóng truyền từ môi trường này sang môi trường khác, tần số ($f$) của sóng không đổi. Tuy nhiên, tốc độ ($v$) của sóng thay đổi, dẫn đến sự thay đổi bước sóng ($\lambda$) theo công thức $v = f\lambda$. Vì $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, số sóng ($k$) cũng thay đổi tương ứng. Nếu tốc độ sóng giảm, bước sóng giảm và số sóng tăng, và ngược lại.