Số Womersley (Womersley Number)

Số Womersley được định nghĩa bằng công thức:

$\alpha = R \sqrt{\frac{\omega}{\nu}} = R \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}}$

Trong đó:

• $R$ là một chiều dài đặc trưng (ví dụ: bán kính của ống hoặc mạch máu).
• $\omega$ là tần số góc của dao động ($ \omega = 2\pi f $, với $f$ là tần số).
• $\nu = \frac{\mu}{\rho}$ là độ nhớt động học của chất lỏng.
• $\rho$ là khối lượng riêng của chất lỏng.
• $\mu$ là độ nhớt động lực của chất lỏng.

Số Womersley cũng có thể được biểu diễn thông qua mối quan hệ với số Reynolds ($Re$) và số Strouhal ($St$):

$\alpha = \sqrt{Re \cdot St}$

(Lưu ý: Mối quan hệ này đúng khi chiều dài đặc trưng được sử dụng để định nghĩa cả ba số không thứ nguyên là như nhau, ví dụ cùng là bán kính $R$).

Phân tích Dòng chảy dựa trên Số Womersley

Ý nghĩa vật lý của số Womersley thể hiện rõ nhất khi xem xét các giới hạn của nó:

• Khi $\alpha \le 1$ (giá trị nhỏ): Lực nhớt chiếm ưu thế. Tần số dao động của dòng chảy đủ thấp để biên dạng vận tốc có thời gian phát triển đầy đủ trong mỗi chu kỳ. Kết quả là, dòng chảy có biên dạng vận tốc parabol tương tự như dòng chảy Poiseuille ổn định, và vận tốc tại mọi điểm trong ống gần như đồng pha với gradien áp suất. Điều này thường xảy ra trong các mạch máu rất nhỏ hoặc với tần số tim đập rất thấp.
• Khi $\alpha \gg 1$ (giá trị lớn, thường là > 10): Lực quán tính chiếm ưu thế. Do tần số dao động cao, dòng chảy không có đủ thời gian để đáp ứng với sự thay đổi của gradien áp suất. Lực nhớt chỉ có ảnh hưởng đáng kể trong một lớp biên mỏng gần thành ống, trong khi phần lõi của dòng chảy có biên dạng vận tốc gần như phẳng và bị lệch pha so với gradien áp suất. Vận tốc ở tâm ống đạt cực đại muộn hơn so với gradien áp suất.
• Khi $1 < \alpha < 10$: Đây là vùng chuyển tiếp, nơi cả lực nhớt và lực quán tính đều đóng vai trò quan trọng. Biên dạng vận tốc phức tạp hơn, không hoàn toàn parabol cũng không hoàn toàn phẳng, và có sự lệch pha đáng kể giữa vận tốc và gradien áp suất. Hầu hết các động mạch lớn ở người đều hoạt động trong khoảng này.

Ứng dụng

Số Womersley có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau. Ứng dụng nổi bật nhất là trong lĩnh vực cơ học sinh học, đặc biệt là để nghiên cứu huyết động học trong hệ tuần hoàn (dòng máu chảy trong động mạch) và dòng khí trong hệ hô hấp. Nó giúp các nhà khoa học và bác sĩ hiểu được sự phân bố vận tốc máu, ứng suất cắt tác động lên thành mạch (một yếu tố quan trọng trong các bệnh lý như xơ vữa động mạch), và sự lan truyền sóng áp suất. Trong kỹ thuật, số Womersley được sử dụng để thiết kế các hệ thống bơm dao động, các thiết bị vi lỏng, và phân tích các quá trình trộn chất lỏng không ổn định.

Tóm lại, Số Womersley là một tham số quan trọng để mô tả đặc điểm của dòng chảy dao động, nơi mà cả lực quán tính và lực nhớt đều đóng vai trò quan trọng. Nó được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là trong cơ học sinh học và cơ học chất lỏng.

Mối quan hệ với các Tham số Vật lý Khác và Biên dạng Vận tốc

Số Womersley có mối liên hệ chặt chẽ với các số không thứ nguyên quen thuộc khác trong cơ học chất lỏng, cung cấp những góc nhìn bổ sung về bản chất của dòng chảy dao động.

1. Số Reynolds và Số Strouhal

Số Reynolds ($Re$) mô tả tỷ lệ giữa lực quán tính và lực nhớt trong dòng chảy ổn định, trong khi số Strouhal ($St$) so sánh tần số dao động của dòng chảy với thời gian đặc trưng của dòng chảy. Các định nghĩa phổ biến là:

• Số Reynolds: $Re = \frac{\rho u D}{\mu} = \frac{uD}{\nu}$, với $D$ là đường kính ống và $u$ là vận tốc trung bình.
• Số Strouhal: $St = \frac{f D}{u} = \frac{\omega D}{2 \pi u}$, với $f$ là tần số dao động.

Khi sử dụng các định nghĩa tiêu chuẩn này, mối quan hệ giữa ba số không thứ nguyên là:

$\alpha^2 = \frac{\pi}{2} Re \cdot St$

Mối quan hệ này cho thấy số Womersley không độc lập hoàn toàn mà tổng hợp thông tin từ cả tỷ lệ lực (qua $Re$) và tỷ lệ thời gian (qua $St$) để mô tả một cách đầy đủ nhất đặc tính của dòng chảy dao động.

2. Độ dày Lớp biên Stokes

Một khái niệm vật lý cực kỳ quan trọng liên quan đến số Womersley là độ dày lớp biên Stokes (hay lớp biên dao động), ký hiệu là $\delta_s$. Đây là thước đo khoảng cách mà ảnh hưởng của lực nhớt khuếch tán từ thành ống vào trong lòng chất lỏng trong một chu kỳ dao động. Nó được định nghĩa là:

$\delta_s = \sqrt{\frac{2\nu}{\omega}} = \sqrt{\frac{2\mu}{\rho \omega}}$

Từ đây, ta có một cách diễn giải vật lý rất trực quan cho số Womersley:

$\alpha = \frac{R}{\delta_s}$

Như vậy, số Womersley chính là tỷ lệ giữa bán kính ống và độ dày lớp biên dao động.

• Khi $\alpha \ll 1$, nghĩa là $R \ll \delta_s$, lớp biên nhớt lớn hơn cả bán kính ống. Điều này có nghĩa là ảnh hưởng của lực nhớt bao trùm toàn bộ tiết diện ống, dẫn đến biên dạng vận tốc parabol.
• Khi $\alpha \gg 1$, nghĩa là $R \gg \delta_s$, lớp biên nhớt rất mỏng so với bán kính ống. Ảnh hưởng của lực nhớt chỉ tập trung ở một vùng hẹp gần thành ống, trong khi phần lõi của dòng chảy chịu sự chi phối của lực quán tính, dẫn đến biên dạng vận tốc phẳng.

3. Biên dạng Vận tốc Womersley

Đối với dòng chảy của chất lỏng Newton không nén được trong một ống trụ tròn dưới tác động của một gradien áp suất dao động, phương trình Navier-Stokes có thể được giải một cách chính xác. Lời giải này, được gọi là dòng chảy Womersley, cho ta biên dạng vận tốc theo không gian ($r$) và thời gian ($t$):

$u(r,t) = \text{Re} \left{ \frac{A}{i \rho \omega} \left[ 1 – \frac{J_0(k r)}{J_0(k R)} \right] e^{i\omega t} \right}$

trong đó $k = \sqrt{\frac{-i \omega}{\nu}} = (1-i)\sqrt{\frac{\omega}{2\nu}} = \frac{(1-i)\alpha}{R \sqrt{2}}$

Một dạng biểu diễn tương đương và phổ biến hơn sử dụng số ảo $i$ và hàm Bessel $J_0$ là:

$u(r,t) = \text{Re} \left( \frac{A}{i \rho \omega} \left[ 1 – \frac{J_0(i^{3/2} \alpha r / R)}{J_0(i^{3/2} \alpha)} \right] e^{i \omega t} \right)$

Trong đó:

• $u(r,t)$ là vận tốc dọc trục tại vị trí bán kính $r$ và thời điểm $t$.
• $A e^{i\omega t}$ là gradien áp suất dao động.
• $i$ là đơn vị ảo ($i^2 = -1$).
• $J_0$ là hàm Bessel phức loại một, bậc không.

Công thức này cho thấy rõ ràng rằng hình dạng của biên dạng vận tốc hoàn toàn được quyết định bởi số Womersley $\alpha$. Khi $\alpha$ nhỏ, biên dạng vận tốc tiến gần đến dạng parabol của dòng Poiseuille. Khi $\alpha$ lớn, biên dạng trở nên phẳng ở vùng trung tâm và có gradien vận tốc rất lớn (ứng suất cắt cao) trong lớp biên Stokes mỏng gần thành ống.

Những Hạn chế và Giả định của Mô hình Lý thuyết

Mặc dù lời giải giải tích cho dòng chảy Womersley (sử dụng hàm Bessel) cung cấp những hiểu biết sâu sắc, nó được xây dựng dựa trên một số giả định lý tưởng hóa. Điều quan trọng là phải nhận thức được những hạn chế này khi áp dụng mô hình cho các hệ thống thực tế, đặc biệt là trong lĩnh vực cơ sinh học:

• Giả định chất lỏng Newton: Mô hình này giả định chất lỏng có độ nhớt không đổi. Trong thực tế, các chất lỏng sinh học như máu là chất lỏng phi-Newton (cụ thể là chất lỏng loãng khi cắt), có độ nhớt thay đổi theo tốc độ cắt. Giả định này chỉ hợp lý trong các động mạch lớn nơi tốc độ cắt cao.
• Giả định ống trụ tròn và thành cứng: Lời giải áp dụng cho ống dẫn có tiết diện tròn hoàn hảo và thành ống hoàn toàn cứng. Thực tế, các động mạch có tính đàn hồi, cho phép chúng giãn nở và co lại theo nhịp tim. Sự tương tác giữa chất lỏng và cấu trúc thành mạch (fluid-structure interaction) là một yếu tố quan trọng bị bỏ qua trong mô hình đơn giản này.
• Giả định dòng chảy tầng: Mô hình chỉ đúng khi dòng chảy hoàn toàn là dòng chảy tầng. Trong một số trường hợp, chẳng hạn như trong động mạch chủ ở đỉnh tâm thu, số Reynolds có thể đủ cao để dòng chảy chuyển sang trạng thái chuyển tiếp hoặc thậm chí rối cục bộ.
• Bỏ qua các hiệu ứng đầu vào và hình học phức tạp: Lời giải chỉ đúng cho dòng chảy đã phát triển đầy đủ (fully developed flow) trong một ống thẳng, dài vô hạn. Nó không tính đến các hiệu ứng ở lối vào ống, các chỗ uốn cong, hay các điểm phân nhánh của hệ mạch máu, nơi biên dạng vận tốc rất khác biệt.
• Giả định dao động điều hòa đơn tần: Lời giải giả định gradien áp suất dao động theo một hàm sin/cosin duy nhất. Dòng máu trong thực tế có dạng sóng tuần hoàn phức tạp. Tuy nhiên, có thể sử dụng phân tích Fourier để phân tích dạng sóng này thành một chuỗi các thành phần điều hòa, và áp dụng lý thuyết Womersley cho từng thành phần đó.