Tán xạ Mie (Mie Scattering)

Nguyên lý

Tán xạ Mie dựa trên việc giải phương trình Maxwell với các điều kiện biên thích hợp cho một mặt cầu điện môi hoặc dẫn điện được chiếu sáng bởi một sóng phẳng. Giải pháp này liên quan đến việc phân tích trường điện từ thành chuỗi vô hạn các hàm sóng cầu vector (vector spherical harmonics). Các hàm sóng này mô tả các mode dao động khác nhau của trường điện từ bên trong và bên ngoài hạt. Quan trọng là, tán xạ Mie tính đến tất cả các bậc đa cực có thể, không giống như tán xạ Rayleigh, chỉ xem xét bậc đa cực lưỡng cực. Điều này có nghĩa là tán xạ Mie có thể mô tả chính xác sự tương tác của ánh sáng với các hạt lớn hơn, nơi mà các hiệu ứng đa cực cao hơn trở nên quan trọng.

Ứng dụng

Tán xạ Mie có nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

• Khí tượng học: Mô hình hóa sự tán xạ ánh sáng bởi các giọt nước, tinh thể băng và các hạt sol khí trong mây để dự đoán các hiện tượng quang học như cầu vồng, hào quang và gloria, cũng như nghiên cứu về khí hậu và thời tiết.
• Hóa học keo: Xác định kích thước, hình dạng và nồng độ của các hạt trong dung dịch keo và huyền phù bằng cách đo cường độ và sự phân bố góc của ánh sáng tán xạ.
• Vật lý thiên văn: Nghiên cứu các hạt bụi trong không gian giữa các vì sao, trong đĩa tiền hành tinh và trong khí quyển của các hành tinh, từ đó suy ra thành phần và tính chất vật lý của chúng.
• Y sinh học: Phân tích sự tán xạ ánh sáng bởi các tế bào và mô để chẩn đoán bệnh, theo dõi quá trình điều trị và phát triển các kỹ thuật hình ảnh y sinh tiên tiến.
• Kỹ thuật cảm biến: Phát triển các cảm biến quang học để đo kích thước, nồng độ và thành phần của các hạt trong không khí, nước và các môi trường khác, phục vụ cho việc kiểm soát ô nhiễm và giám sát chất lượng môi trường.

Các yếu tố ảnh hưởng

Cường độ và sự phân bố góc của ánh sáng tán xạ Mie phụ thuộc vào một số yếu tố, bao gồm:

• Kích thước hạt ($a$): Thường được biểu diễn dưới dạng tham số kích thước $x = 2\pi a/\lambda$, trong đó $\lambda$ là bước sóng của ánh sáng tới.
• Chiết suất tương đối của hạt ($m$): Là tỉ số giữa chiết suất của hạt và chiết suất của môi trường xung quanh. Chiết suất phức ($m = n + ik$) được dùng khi hạt có sự hấp thụ ánh sáng.
• Bước sóng của ánh sáng tới ($\lambda$): Ánh sáng có bước sóng khác nhau sẽ bị tán xạ khác nhau.
• Góc tán xạ ($\theta$): Cường độ ánh sáng tán xạ thay đổi theo góc, tạo ra các mẫu hình tán xạ đặc trưng.
• Độ phân cực của ánh sáng tới: Ánh sáng phân cực khác nhau (ví dụ: phân cực thẳng đứng hoặc phân cực ngang) có thể tạo ra các kiểu tán xạ khác nhau.

Tính toán

Việc tính toán tán xạ Mie khá phức tạp và thường được thực hiện bằng máy tính, dựa trên các thuật toán số. Quá trình này liên quan đến việc tính toán các hệ số tán xạ Mie, thường được ký hiệu là $a_n$ và $b_n$. Các hệ số này là các số phức, phụ thuộc vào tham số kích thước $x$ và chiết suất tương đối $m$. Từ các hệ số $a_n$ và $b_n$, người ta có thể tính toán được tiết diện tán xạ, tiết diện hấp thụ, tiết diện suy giảm, hệ số bất đối xứng và các đại lượng liên quan khác, mô tả đầy đủ tương tác của ánh sáng với hạt.

So sánh với tán xạ Rayleigh

Kết luận: Tán xạ Mie là một lý thuyết quan trọng để hiểu sự tương tác của ánh sáng với các hạt có kích thước tương đương hoặc lớn hơn bước sóng. Nó có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật, và việc tính toán của nó, mặc dù phức tạp, cung cấp thông tin chi tiết về các tính chất của các hạt tán xạ.

Các đại lượng quan trọng trong tán xạ Mie

• Tiết diện tán xạ ($C_{sca}$): Diện tích hiệu dụng mà hạt tán xạ ánh sáng. Nó được tính bằng:
  $C_{sca} = \frac{2\pi}{k^2} \sum_{n=1}^{\infty} (2n+1)(|a_n|^2 + |b_n|^2)$, với $k = 2\pi/\lambda$.
• Tiết diện hấp thụ ($C_{abs}$): Diện tích hiệu dụng mà hạt hấp thụ ánh sáng.
• Tiết diện tắt ($C_{ext}$): Tổng của tiết diện tán xạ và tiết diện hấp thụ: $C_{ext} = C_{sca} + C_{abs}$.
• Hiệu suất tán xạ ($Q_{sca}$): Tỉ số giữa tiết diện tán xạ và diện tích mặt cắt ngang hình học của hạt: $Q_{sca} = C_{sca}/(\pi a^2)$.
• Tham số bất đối xứng (g): Đo lường mức độ tán xạ về phía trước so với tán xạ về phía sau. Giá trị $g$ gần 1 cho thấy tán xạ chủ yếu về phía trước, $g$ gần -1 cho thấy tán xạ chủ yếu về phía sau và $g$ gần 0 cho thấy tán xạ gần như đối xứng. Công thức: $g = \frac{2}{k^2 C_{sca}}\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{n(n+2)}{n+1}Re(a_n a_{n+1}^* + b_n b_{n+1}^*) + \frac{2n+1}{n(n+1)}Re(a_n b_n^*)]$

Hàm pha

Hàm pha $P(\theta)$ mô tả sự phân bố góc của cường độ ánh sáng tán xạ, cho biết xác suất ánh sáng bị tán xạ theo một góc $\theta$ nhất định. Nó được chuẩn hóa sao cho tích phân của nó trên toàn bộ không gian bằng 1: $\frac{1}{4\pi}\int{0}^{2\pi} \int{0}^{\pi} P(\theta) \sin(\theta) d\theta d\phi = 1$. Hàm pha liên quan đến các hệ số Mie và các hàm Legendre liên hợp.

Xấp xỉ

Đối với một số trường hợp giới hạn, có thể sử dụng các xấp xỉ đơn giản hơn để tính toán tán xạ Mie:

• Xấp xỉ Rayleigh: Áp dụng cho các hạt rất nhỏ ($x << 1$). Trong xấp xỉ này, cường độ tán xạ tỉ lệ với $1/\lambda^4$ và phân bố góc tán xạ đối xứng.
• Xấp xỉ tán xạ hình học: Áp dụng cho các hạt rất lớn ($x >> 1$). Trong xấp xỉ này, ánh sáng được coi như các tia sáng và sự tán xạ được mô tả bằng các định luật phản xạ và khúc xạ.
• Xấp xỉ dị thường nhiễu xạ (Anomalous Diffraction Approximation – ADA): Áp dụng cho các hạt “mềm” (có chiết suất gần với môi trường) và có kích thước không quá nhỏ so với bước sóng.

Phương pháp số

Việc tính toán các hệ số tán xạ Mie $a_n$ và $b_n$ liên quan đến các hàm Bessel cầu (spherical Bessel functions) và hàm Hankel cầu (spherical Hankel functions). Các hàm này có thể được tính toán bằng các phương pháp số với độ chính xác cao. Có nhiều mã máy tính và phần mềm có sẵn để tính toán tán xạ Mie, chẳng hạn như:

• MiePlot
• PyMieScatt (Python)
• MieScatt (Matlab)
• MSTM (Multiple Sphere T-Matrix)

Ứng dụng nâng cao

• Tán xạ Mie trên các hạt không hình cầu: Mặc dù lý thuyết Mie được phát triển cho các hạt hình cầu, nó cũng có thể được mở rộng để áp dụng cho các hạt có hình dạng phức tạp hơn bằng cách sử dụng các phương pháp số như phương pháp T-matrix, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) hoặc phương pháp sai phân hữu hạn theo miền thời gian (FDTD).
• Tán xạ Mie phụ thuộc thời gian: Nghiên cứu sự tán xạ của các xung ánh sáng cực ngắn bởi các hạt, cho phép thăm dò các quá trình động lực học trong vật chất.
• Tán xạ Mie đa lớp (Multilayer Mie Scattering): Mở rộng lý thuyết Mie cho các hạt có cấu trúc lớp, cho phép mô tả chính xác hơn các hệ thực tế như các hạt bụi được bao phủ bởi một lớp vỏ.

• Bohren, C. F., & Huffman, D. R. (1983). Absorption and scattering of light by small particles. Wiley.
• van de Hulst, H. C. (1957). Light scattering by small particles. Wiley.
• Mishchenko, M. I., Travis, L. D., & Lacis, A. A. (2002). Scattering, absorption, and emission of light by small particles. Cambridge university press.

Câu hỏi và Giải đáp

Câu 1: Làm thế nào để tính toán tiết diện tán xạ và tiết diện hấp thụ cho một hạt hình cầu sử dụng lý thuyết Mie?

Trả lời: Tiết diện tán xạ ($C{sca}$) và tiết diện hấp thụ ($C{abs}$) được tính bằng cách sử dụng các hệ số Mie $a_n$ và $bn$, được xác định từ các điều kiện biên của sóng điện từ trên bề mặt hạt. Công thức cho $C{sca}$ là: $C{sca} = \frac{2\pi}{k^2} \sum{n=1}^{\infty} (2n+1)(|a_n|^2 + |b_n|^2)$, với $k = 2\pi/\lambda$. Tiết diện hấp thụ được tính tương tự, nhưng với một công thức khác liên quan đến phần thực của $a_n$ và $b_n$. Việc tính toán này thường được thực hiện bằng máy tính do tính chất phức tạp của các hàm Bessel và Hankel hình cầu liên quan.

Câu 2: Sự khác biệt chính giữa tán xạ Mie và tán xạ Rayleigh là gì, và khi nào mỗi lý thuyết được áp dụng?

Trả lời: Tán xạ Rayleigh áp dụng cho các hạt có kích thước nhỏ hơn nhiều so với bước sóng của ánh sáng tới ($x << 1$), trong khi tán xạ Mie áp dụng cho các hạt có kích thước tương đương hoặc lớn hơn bước sóng ($x \approx 1$ hoặc $x > 1$). Một sự khác biệt quan trọng khác là sự phụ thuộc vào bước sóng: tán xạ Rayleigh tỷ lệ nghịch với lũy thừa bậc bốn của bước sóng ($propto 1/\lambda^4$), trong khi sự phụ thuộc bước sóng trong tán xạ Mie phức tạp hơn. Tán xạ Rayleigh cũng tạo ra phân bố góc tán xạ đối xứng hơn so với tán xạ Mie, thường tán xạ mạnh hơn về phía trước.

Câu 3: Tham số kích thước ($x$) trong tán xạ Mie là gì, và nó ảnh hưởng đến tán xạ như thế nào?

Trả lời: Tham số kích thước được định nghĩa là $x = 2\pi a/\lambda$, trong đó $a$ là bán kính của hạt và $\lambda$ là bước sóng của ánh sáng tới. Nó đại diện cho tỷ lệ giữa chu vi của hạt và bước sóng. Tham số kích thước là một yếu tố quyết định trong việc xác định chế độ tán xạ. Đối với $x << 1$, tán xạ Rayleigh chiếm ưu thế, trong khi đối với $x \approx 1$ hoặc $x > 1$, tán xạ Mie trở nên quan trọng. Khi x tăng, mô hình tán xạ trở nên phức tạp hơn với nhiều thùy và tán xạ về phía trước mạnh hơn.

Câu 4: Tán xạ Mie được ứng dụng như thế nào trong khoa học khí quyển?

Trả lời: Trong khoa học khí quyển, tán xạ Mie được sử dụng để mô hình hóa sự tán xạ ánh sáng bởi các hạt aerosol và giọt nước trong mây. Nó giúp dự đoán các hiện tượng quang học như cầu vồng, hào quang và gloria. Tán xạ Mie cũng được sử dụng để xác định kích thước và nồng độ của các hạt aerosol trong khí quyển, điều này rất quan trọng để hiểu chất lượng không khí và biến đổi khí hậu.

Câu 5: Làm thế nào để xử lý tán xạ Mie cho các hạt không hình cầu?

Trả lời: Lý thuyết Mie được phát triển cho các hạt hình cầu. Đối với các hạt không hình cầu, các phương pháp số như T-matrix, phương pháp phần tử rời rạc (DDA), hoặc phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) được sử dụng. Các phương pháp này tính toán tán xạ bằng cách xấp xỉ hạt bằng một tập hợp các hình cầu nhỏ hơn hoặc bằng cách giải phương trình Maxwell trực tiếp cho hình dạng hạt tùy ý. Mặc dù phức tạp hơn về mặt tính toán, nhưng các phương pháp này cho phép mô hình hóa tán xạ ánh sáng từ các hạt có hình dạng thực tế hơn.