Tenxơ (Tensor)

Các bậc tenxơ thông dụng:

• Tenxơ bậc 0 (Vô hướng/Scalar): Một giá trị số đơn lẻ. Ví dụ: 5, π, -2. Tenxơ bậc 0 không có chiều.
• Tenxơ bậc 1 (Vectơ): Một mảng 1 chiều gồm các số. Ví dụ: [2, 4, 6]. Tenxơ bậc 1 có một chiều.
• Tenxơ bậc 2 (Ma trận): Một mảng 2 chiều gồm các số. Ví dụ:
  $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tenxơ bậc 2 có hai chiều (hàng và cột).
• Tenxơ bậc n: Một mảng n chiều gồm các số. Mỗi phần tử của tenxơ bậc n được xác định bởi n chỉ số, mỗi chỉ số ứng với một chiều.

Biểu diễn và Phép toán trên Tenxơ

Tenxơ thường được biểu diễn bằng chữ cái in hoa (ví dụ: T) với các chỉ số dưới để chỉ thành phần của nó. Ví dụ, một tenxơ bậc 2 T có thể được biểu diễn là $T{ij}$, trong đó i và j chạy từ 1 đến số hàng và số cột tương ứng. Một tenxơ bậc 3 có thể được biểu diễn là $T{ijk}$. Kích thước của tenxơ được xác định bởi phạm vi của các chỉ số này. Ví dụ, tenxơ $T_{ij}$ với i từ 1 đến 3 và j từ 1 đến 4 là một tenxơ 3×4.

Phép toán trên tenxơ:

Có một số phép toán cơ bản được thực hiện trên tenxơ, bao gồm:

• Phép cộng và phép trừ: Chỉ thực hiện được trên các tenxơ cùng bậc và cùng kích thước. Cộng hoặc trừ tương ứng các thành phần ở cùng vị trí. Ví dụ: $C_{ij} = A_{ij} + B_{ij}$ (với A, B, C cùng bậc và cùng kích thước).
• Phép nhân với một vô hướng: Nhân mỗi thành phần của tenxơ với vô hướng đó. Ví dụ: $2 \times T_{ij} = 2T_{ij}$.
• Phép nhân tenxơ (Tensor product/Outer product): Kết hợp hai tenxơ để tạo ra một tenxơ mới có bậc bằng tổng bậc của hai tenxơ ban đầu. Ký hiệu là $\otimes$. Ví dụ: Nếu *A* là tenxơ bậc 1 và *B* là tenxơ bậc 2, thì $A \otimes B$ là tenxơ bậc 3. Cụ thể hơn, nếu $A_i$ và $B_{jk}$, thì $(A \otimes B)_{ijk} = A_i B_{jk}$.
• Co (Contraction): Giảm bậc của tenxơ bằng cách đặt hai chỉ số bằng nhau và lấy tổng theo chỉ số đó. Ví dụ: Co tenxơ bậc 2 $T_{ij}$ theo chỉ số *i* và *j* sẽ cho ra một vô hướng (tenxơ bậc 0): $\sum_{i} T_{ii}$ (trường hợp này còn gọi là trace).

Ứng dụng của Tenxơ

Tenxơ được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

• Học máy (Machine Learning): Biểu diễn dữ liệu đa chiều (ví dụ: hình ảnh, video) và xây dựng các mô hình học máy phức tạp. Ví dụ: một bức ảnh màu có thể được biểu diễn bằng một tenxơ bậc 3 (chiều cao x chiều rộng x kênh màu).
• Xử lý ngôn ngữ tự nhiên (Natural Language Processing): Biểu diễn các từ và câu văn dưới dạng vector hoặc ma trận (tenxơ bậc 1 và 2).
• Vật lý: Biểu diễn các đại lượng vật lý như ứng suất, biến dạng, điện trường, từ trường.
• Đồ họa máy tính (Computer Graphics): Biểu diễn các phép biến đổi hình học.

Phân biệt Tenxơ và Mảng

Mặc dù tenxơ được biểu diễn dưới dạng mảng, nhưng nó không chỉ đơn thuần là một mảng. Sự khác biệt chính nằm ở cách chúng biến đổi dưới các phép biến đổi tọa độ. Tenxơ biến đổi theo các quy tắc cụ thể để đảm bảo rằng các đại lượng vật lý mà chúng biểu diễn không thay đổi khi hệ tọa độ thay đổi. Mảng thì không có tính chất này. Một mảng chỉ đơn giản là một tập hợp các số được sắp xếp theo nhiều chiều, trong khi một tenxơ mang thêm thông tin về cách nó biến đổi dưới các phép biến đổi tọa độ.

Các loại Tenxơ Đặc biệt

• Tenxơ đối xứng (Symmetric Tensor): Một tenxơ bậc *n* được gọi là đối xứng nếu giá trị của nó không thay đổi khi hoán vị các chỉ số. Ví dụ: $T_{ij} = T_{ji}$ cho tenxơ bậc 2.
• Tenxơ phản đối xứng (Antisymmetric/Skew-symmetric Tensor): Một tenxơ bậc *n* được gọi là phản đối xứng nếu giá trị của nó đổi dấu khi hoán vị hai chỉ số bất kỳ. Ví dụ: $T_{ij} = -T_{ji}$ cho tenxơ bậc 2.
• Tenxơ đơn vị (Identity Tensor/Kronecker Delta): Ký hiệu là $\delta_{ij}$, có giá trị 1 nếu $i=j$ và 0 nếu $i \neq j$. Nó hoạt động như tenxơ đơn vị trong phép nhân tenxơ. Ví dụ: $A_i \delta_{ij} = A_j$.

Tenxơ trong Không gian Vectơ

Tenxơ có thể được định nghĩa một cách tổng quát hơn trong ngữ cảnh của không gian vectơ. Một tenxơ kiểu (p, q) là một ánh xạ đa tuyến tính từ p vectơ kép và q vectơ của một không gian vectơ đến một trường vô hướng.

Biến đổi Tenxơ

Khi thay đổi hệ tọa độ, các thành phần của tenxơ cũng thay đổi theo một quy tắc cụ thể. Ví dụ, đối với một tenxơ bậc 1 phản biến (contravariant) $V^i$ và một biến đổi tọa độ $x’^i = A^i_j x^j$, tenxơ biến đổi theo công thức: $V’^i = A^i_j V^j$. Đối với tenxơ hiệp biến (covariant) $V_i$, quy tắc biến đổi là: $V’_i = (A^{-1})^j_i V_j$. $(A^{-1})^j_i$ là ma trận nghịch đảo của $A^i_j$.

Tenxơ Bậc Cao Hơn và Ký hiệu Einstein

Khi làm việc với tenxơ bậc cao, việc viết tổng $\sum$ lặp đi lặp lại có thể trở nên cồng kềnh. Ký hiệu Einstein giúp đơn giản hóa việc này bằng cách bỏ qua dấu $\sum$ khi có chỉ số lặp lại. Ví dụ, thay vì viết $\sum_i A_i B^i$, ta chỉ cần viết $A_i B^i$.

Vi phân Tenxơ

Ngành vi phân tenxơ nghiên cứu về vi phân và tích phân của tenxơ trên các đa tạp. Nó là công cụ toán học quan trọng trong vật lý hiện đại, đặc biệt là trong thuyết tương đối rộng.

Tóm lại

Tenxơ là một công cụ toán học mạnh mẽ cho phép biểu diễn và thao tác với dữ liệu đa chiều một cách hiệu quả. Nó có nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và kỹ thuật.

• Linear Algebra and Its Applications, David C. Lay
• Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosmology, D. F. Lawden
• Tensor Analysis, Pavel Grinfeld

Câu hỏi và Giải đáp

Sự khác biệt chính giữa tenxơ và ma trận là gì?

Trả lời: Mặc dù ma trận là một trường hợp đặc biệt của tenxơ (tenxơ bậc 2), sự khác biệt chính nằm ở cách chúng biến đổi dưới phép biến đổi tọa độ. Tenxơ biến đổi theo các quy tắc cụ thể để đảm bảo rằng các đại lượng vật lý mà chúng biểu diễn không thay đổi khi hệ tọa độ thay đổi. Ma trận, khi được coi là một mảng số đơn thuần, không tuân theo quy tắc biến đổi này. Ví dụ, với phép biến đổi tọa độ $x’^i = A^i_j x^j$, một tenxơ bậc 1 (vectơ) $V^i$ biến đổi thành $V’^i = A^i_j V^j$, trong khi một tenxơ hiệp biến bậc 1 $V_i$ biến đổi thành $V’_i = (A^{-1})^j_i V_j$. Ma trận, nếu không được coi là tenxơ, sẽ không tuân theo các quy tắc biến đổi này.

Làm thế nào để thực hiện phép nhân tenxơ (tensor product) giữa hai tenxơ?

Trả lời: Phép nhân tenxơ, ký hiệu là $\otimes$, kết hợp hai tenxơ để tạo ra một tenxơ mới có bậc bằng tổng bậc của hai tenxơ ban đầu. Ví dụ, nếu $A$ là tenxơ bậc $m$ với các thành phần $A_{i_1…im}$ và $B$ là tenxơ bậc $n$ với các thành phần $B{j_1…j_n}$, thì tenxơ tích $C = A \otimes B$ là tenxơ bậc $m+n$ với các thành phần:

$C_{i_1…i_m j_1…jn} = A{i_1…im} B{j_1…j_n}$.

Tenxơ metric là gì và nó có vai trò gì trong thuyết tương đối rộng?

Trả lời: Tenxơ metric, thường được ký hiệu là $g_{\mu\nu}$, là một tenxơ bậc 2 mô tả hình học của không-thời gian. Nó xác định khoảng cách giữa hai điểm trong không-thời gian. Trong thuyết tương đối rộng, tenxơ metric được xác định bởi sự phân bố khối lượng và năng lượng, và nó mô tả cách trọng lực ảnh hưởng đến hình học của không-thời gian. Sự cong của không-thời gian, do khối lượng và năng lượng gây ra, được biểu diễn bằng tenxơ metric.

Ứng dụng của tenxơ trong học máy là gì?

Trả lời: Tenxơ được sử dụng rộng rãi trong học máy để biểu diễn dữ liệu đa chiều, chẳng hạn như hình ảnh (tenxơ bậc 3), video (tenxơ bậc 4) và dữ liệu chuỗi thời gian. Chúng cũng được sử dụng để xây dựng và huấn luyện các mô hình học máy, chẳng hạn như mạng nơ-ron, thông qua các phép toán tenxơ như nhân ma trận và tích chập.

Làm thế nào để hình dung tenxơ bậc 3?

Trả lời: Có thể hình dung tenxơ bậc 3 như một khối lập phương hoặc hình hộp chữ nhật 3 chiều. Mỗi phần tử của tenxơ tương ứng với một giá trị tại một vị trí cụ thể trong khối lập phương này, được xác định bởi ba chỉ số. Mỗi lát cắt của khối lập phương theo một chiều đại diện cho một ma trận. Đối với tenxơ bậc cao hơn, việc hình dung trực tiếp trở nên khó khăn hơn, nhưng có thể sử dụng các kỹ thuật trực quan hóa khác để phân tích cấu trúc dữ liệu.