Tứ vectơ (Four-vector)

Định nghĩa

Một tứ vectơ $A^\mu$ được định nghĩa là một tập hợp bốn thành phần $(A^0, A^1, A^2, A^3)$, trong đó $A^0$ thường là thành phần “thời gian” và $(A^1, A^2, A^3)$ là ba thành phần “không gian”. Cụ thể hơn, thành phần thời gian thường liên quan đến năng lượng chia cho tốc độ ánh sáng ($A^0 = \frac{E}{c}$), trong khi ba thành phần không gian tạo thành một vectơ không gian 3 chiều thông thường. Ta cũng có thể viết tứ vectơ dưới dạng:

$A^\mu = (A^0, \vec{A})$

với $\vec{A} = (A^1, A^2, A^3)$ là vectơ ba chiều quen thuộc. Cần lưu ý rằng $\mu$ là chỉ số chạy từ 0 đến 3, tương ứng với bốn thành phần của tứ vectơ.

Chỉ số trên và chỉ số dưới

Các thành phần của tứ vectơ được biểu diễn bằng chỉ số Hy Lạp, chạy từ 0 đến 3. Thông thường, chỉ số trên (contravariant index) được dùng cho tứ vectơ. Ta cũng có thể định nghĩa tứ vectơ hiệp biến (covariant) $A\mu$ bằng cách sử dụng tenxơ metric $g{\mu\nu}$:

$A\mu = g{\mu\nu} A^\nu$

Trong thuyết tương đối hẹp, tenxơ metric thường được chọn là:

$g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Do đó, $A\mu = (A^0, -A^1, -A^2, -A^3) = (A^0, -\vec{A})$. Quá trình này được gọi là hạ chỉ số. Ngược lại, ta có thể nâng chỉ số của một tứ vectơ hiệp biến để thu được tứ vectơ phản biến tương ứng bằng cách sử dụng tenxơ metric nghịch đảo $g^{\mu\nu}$: $A^\mu = g^{\mu\nu} A\nu$.

Ví dụ về tứ vectơ

Một số ví dụ quan trọng về tứ vectơ bao gồm:

• Tứ vị trí (Four-position): $x^\mu = (ct, x, y, z)$, mô tả vị trí của một sự kiện trong không thời gian.
• Tứ động lượng (Four-momentum): $p^\mu = (E/c, p_x, p_y, p_z)$, mô tả năng lượng và động lượng của một hạt. Trong đó $E$ là năng lượng toàn phần, $\vec{p}$ là động lượng ba chiều và $c$ là tốc độ ánh sáng.
• Tứ dòng điện (Four-current): $J^\mu = (\rho c, \vec{j})$, mô tả mật độ điện tích và mật độ dòng điện.
• Tứ thế (Four-potential): $A^\mu = (\phi/c, \vec{A})$, mô tả thế điện từ.

Tích vô hướng của tứ vectơ

Tích vô hướng (inner product) hay tích trong của hai tứ vectơ $A^\mu$ và $B^\mu$ được định nghĩa là:

$A \cdot B = A^\mu B\mu = g{\mu\nu} A^\mu B^\nu = A^0 B^0 – A^1 B^1 – A^2 B^2 – A^3 B^3 = A^0 B^0 – \vec{A} \cdot \vec{B}$

Tích vô hướng của một tứ vectơ với chính nó được gọi là bình phương của tứ vectơ, và nó là một đại lượng bất biến Lorentz. Điều này có nghĩa là giá trị của tích vô hướng không thay đổi dưới phép biến đổi Lorentz, một tính chất quan trọng trong thuyết tương đối.

Ý nghĩa

Tứ vectơ đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng các định luật vật lý bất biến dưới phép biến đổi Lorentz. Việc sử dụng tứ vectơ giúp đơn giản hóa các phương trình và làm rõ mối liên hệ giữa các đại lượng vật lý trong thuyết tương đối.

Biến đổi Lorentz của tứ vectơ

Điểm mấu chốt của tứ vectơ chính là cách chúng biến đổi dưới phép biến đổi Lorentz. Một phép biến đổi Lorentz liên kết các tọa độ $(ct, x, y, z)$ trong một hệ quy chiếu quán tính với các tọa độ $(ct’, x’, y’, z’)$ trong một hệ quy chiếu quán tính khác chuyển động tương đối so với hệ đầu. Phép biến đổi này có thể được biểu diễn bằng một ma trận 4×4, ký hiệu là $\Lambda$. Một tứ vectơ $A^\mu$ biến đổi theo quy luật sau dưới phép biến đổi Lorentz:

$A’^\mu = \Lambda^\mu_\nu A^\nu$

(Công thức này sử dụng quy ước tính tổng Einstein, trong đó các chỉ số lặp lại được ngầm hiểu là được tính tổng.)

Điều này có nghĩa là mỗi thành phần của tứ vectơ trong hệ quy chiếu mới là một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong hệ quy chiếu cũ.

Đạo hàm của tứ vectơ

Đạo hàm của một tứ vectơ theo thời gian riêng $\tau$ (proper time) cũng là một tứ vectơ. Thời gian riêng là thời gian đo bởi một đồng hồ chuyển động cùng với hạt. Đạo hàm này được định nghĩa là:

$\frac{dA^\mu}{d\tau} = (\frac{1}{c}\frac{dE}{d\tau}, \frac{d\vec{p}}{d\tau})$

Phương trình chuyển động tương đối tính

Sử dụng tứ vectơ, ta có thể viết phương trình chuyển động của một hạt chịu tác dụng của một lực dưới dạng tương đối tính. Lực bốn chiều $F^\mu$ được định nghĩa là tốc độ thay đổi của tứ động lượng theo thời gian riêng:

$F^\mu = \frac{dp^\mu}{d\tau}$

Một số ví dụ ứng dụng

• Bảo toàn năng lượng-động lượng: Trong một hệ kín, tổng tứ động lượng của tất cả các hạt là một đại lượng bảo toàn.
• Điện động lực học: Các phương trình Maxwell có thể được viết dưới dạng gọn gàng và bất biến Lorentz bằng cách sử dụng tứ vectơ và tenxơ điện từ.

Phân loại tứ vectơ

Tứ vectơ có thể được phân loại dựa trên dấu của bình phương của chúng:

• Tứ vectơ loại thời gian (Timelike): $A \cdot A > 0$
• Tứ vectơ loại không gian (Spacelike): $A \cdot A < 0$
• Tứ vectơ loại ánh sáng (Lightlike or Null): $A \cdot A = 0$

• Lý thuyết tương đối hẹp, Phạm Xuân Yêm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
• Introduction to Special Relativity, Robert Resnick, John Wiley & Sons.
• Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity, Edwin F. Taylor and John Archibald Wheeler, W. H. Freeman.
• Special Relativity, A. P. French, CRC Press.

Câu hỏi và Giải đáp

Sự khác biệt chính giữa vectơ ba chiều cổ điển và tứ vectơ là gì?

Trả lời: Sự khác biệt chính nằm ở cách chúng biến đổi dưới phép biến đổi tọa độ. Vectơ ba chiều cổ điển biến đổi dưới phép quay và tịnh tiến trong không gian ba chiều. Trong khi đó, tứ vectơ biến đổi dưới phép biến đổi Lorentz, bao gồm cả các phép quay, tịnh tiến và biến đổi boost (liên quan đến vận tốc tương đối giữa các hệ quy chiếu). Sự biến đổi này đảm bảo tính bất biến của các đại lượng vật lý được biểu diễn bằng tứ vectơ trong thuyết tương đối hẹp.

Làm thế nào để tính bình phương của một tứ vectơ và ý nghĩa vật lý của nó là gì?

Trả lời: Bình phương của một tứ vectơ $A^\mu$ được tính bằng cách lấy tích vô hướng của nó với chính nó: $A \cdot A = A^\mu A\mu = g{\mu\nu}A^\mu A^\nu = (A^0)^2 – (A^1)^2 – (A^2)^2 – (A^3)^2$. Bình phương này là một đại lượng bất biến Lorentz, có nghĩa là nó có cùng giá trị trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Dấu của bình phương này được dùng để phân loại tứ vectơ thành loại thời gian, loại không gian và loại ánh sáng.

Tại sao tứ động lượng quan trọng trong vật lý hạt?

Trả lời: Tứ động lượng $p^\mu = (E/c, \vec{p})$ kết hợp năng lượng và động lượng của một hạt thành một đại lượng duy nhất. Việc sử dụng tứ động lượng cho phép chúng ta áp dụng các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng một cách dễ dàng trong các phản ứng hạt nhân và các quá trình tương tác khác ở tốc độ cao. Tính bất biến Lorentz của tứ động lượng đảm bảo rằng các định luật bảo toàn này đúng trong mọi hệ quy chiếu quán tính.

Tenxơ metric $g_{\mu\nu}$ đóng vai trò gì trong việc định nghĩa và tính toán với tứ vectơ?

Trả lời: Tenxơ metric $g{\mu\nu}$ được sử dụng để hạ thấp hoặc nâng cao chỉ số của tứ vectơ, chuyển đổi giữa dạng hiệp biến và phản biến. Ví dụ, $A\mu = g{\mu\nu}A^\nu$. Nó cũng được sử dụng trong việc tính tích vô hướng của hai tứ vectơ: $A \cdot B = g{\mu\nu} A^\mu B^\nu$. Tenxơ metric xác định hình học của không thời Minkowski.

Làm thế nào để áp dụng tứ vectơ trong việc nghiên cứu điện động lực học?

Trả lời: Trong điện động lực học, các đại lượng như thế điện từ và dòng điện được biểu diễn bằng tứ vectơ, cụ thể là tứ thế $A^\mu = (\phi/c, \vec{A})$ và tứ dòng điện $J^\mu = (\rho c, \vec{j})$. Việc sử dụng tứ vectơ cho phép viết các phương trình Maxwell dưới dạng bất biến Lorentz, thể hiện tính tương đối của điện từ trường. Điều này giúp đơn giản hóa việc phân tích các hiện tượng điện từ trong các hệ quy chiếu chuyển động tương đối với nhau.