Vectơ Poynting (Poynting vector)

Định nghĩa

Vectơ Poynting ($\vec{S}$) được định nghĩa là tích có hướng của cường độ điện trường ($\vec{E}$) và cường độ từ trường ($\vec{H}$):

$ \vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} $

Trong đó:

• $\vec{S}$ là vectơ Poynting (đơn vị: Watt trên mét vuông – W/m²). Đơn vị này thể hiện năng lượng trên đơn vị thời gian (công suất) trên đơn vị diện tích.
• $\vec{E}$ là cường độ điện trường (đơn vị: Volt trên mét – V/m).
• $\vec{H}$ là cường độ từ trường (đơn vị: Ampere trên mét – A/m).

Lưu ý rằng vì $\vec{S}$ là tích có hướng của $\vec{E}$ và $\vec{H}$, nên hướng của $\vec{S}$ vuông góc với cả $\vec{E}$ và $\vec{H}$, tuân theo quy tắc bàn tay phải. Điều này có nghĩa là năng lượng điện từ được truyền theo hướng vuông góc với cả điện trường và từ trường.

Ý nghĩa

• Hướng của vectơ Poynting: Chỉ hướng truyền năng lượng điện từ.
• Độ lớn của vectơ Poynting: Biểu thị mật độ công suất tức thời, tức là năng lượng điện từ truyền qua một đơn vị diện tích vuông góc với hướng truyền trong một đơn vị thời gian. Giá trị này thường được gọi là cường độ bức xạ (irradiance).

Ứng dụng

Vectơ Poynting có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý và kỹ thuật, bao gồm:

• Tính toán công suất bức xạ của anten: Vectơ Poynting được sử dụng để xác định lượng năng lượng bức xạ bởi một anten, giúp thiết kế và tối ưu hóa hiệu suất anten.
• Phân tích sự truyền sóng điện từ: Vectơ Poynting giúp hiểu được cách sóng điện từ lan truyền trong không gian và tương tác với vật chất, bao gồm các hiện tượng như phản xạ, khúc xạ, hấp thụ và tán xạ.
• Mô hình hóa các hệ thống điện từ: Vectơ Poynting được sử dụng trong các mô phỏng máy tính để phân tích các hệ thống điện từ phức tạp, ví dụ như trong thiết kế mạch điện tử tốc độ cao và các thiết bị vi sóng.
• Tính toán năng lượng trong sóng điện từ: Tích phân vectơ Poynting trên một bề mặt cho tổng năng lượng đi qua bề mặt đó trong một đơn vị thời gian. Điều này cho phép tính toán tổng công suất truyền qua một diện tích xác định.

Ví dụ

Trong một sóng điện từ phẳng, vectơ Poynting luôn vuông góc với cả $\vec{E}$ và $\vec{H}$ và hướng theo hướng truyền sóng. Độ lớn của vectơ Poynting dao động theo thời gian, nhưng giá trị trung bình của nó thể hiện mật độ công suất trung bình của sóng. Ví dụ, trong chân không, mật độ công suất trung bình của sóng điện từ phẳng được cho bởi $S_{avg} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} |E_0|^2$, trong đó $E_0$ là biên độ của điện trường và $\epsilon_0$ và $\mu_0$ lần lượt là hằng số điện môi và hằng số từ thẩm của chân không.

Lưu ý

• Vectơ Poynting chỉ biểu thị dòng năng lượng, không phải năng lượng được lưu trữ. Nó mô tả tốc độ truyền năng lượng, chứ không phải tổng năng lượng hiện có tại một điểm.
• Trong trường tĩnh điện hoặc từ trường tĩnh, vectơ Poynting bằng không, mặc dù năng lượng điện trường hoặc từ trường có thể tồn tại. Điều này là do không có sự truyền năng lượng trong trường tĩnh.

Định lý Poynting

Định lý Poynting phát biểu rằng sự thay đổi năng lượng điện từ trong một thể tích bằng với dòng năng lượng đi vào hoặc ra khỏi thể tích đó, cộng với công suất tiêu hao bên trong thể tích. Định lý này được biểu diễn bằng phương trình sau:

$ – \frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot \vec{S} + \vec{J} \cdot \vec{E} $

Trong đó:

• $u$ là mật độ năng lượng điện từ (đơn vị: J/m³).
• $\nabla \cdot \vec{S}$ là độ phân kỳ của vectơ Poynting, biểu thị dòng năng lượng ra khỏi thể tích (đơn vị: W/m³).
• $\vec{J} \cdot \vec{E}$ là công suất tiêu hao do dòng điện $\vec{J}$ trong điện trường $\vec{E}$ (đơn vị: W/m³). Đây là năng lượng bị chuyển đổi thành các dạng năng lượng khác, ví dụ như nhiệt.

Vectơ Poynting trong môi trường vật chất

Trong môi trường vật chất, định nghĩa của vectơ Poynting vẫn là $\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}$. Tuy nhiên, mối quan hệ giữa $\vec{E}$ và $\vec{H}$ phức tạp hơn so với trong chân không. Đối với môi trường tuyến tính, đẳng hướng và không tán sắc, ta có $\vec{B} = \mu \vec{H}$ và $\vec{D} = \epsilon \vec{E}$, trong đó $\mu$ là độ từ thẩm và $\epsilon$ là độ điện thẩm của môi trường.

Vectơ Poynting phức

Đối với trường điện từ biến đổi theo thời gian dạng sin, ta thường sử dụng vectơ Poynting phức $\vec{S}_c$ được định nghĩa là:

$\vec{S}_c = \frac{1}{2} \vec{E} \times \vec{H}^*$

Trong đó $\vec{H}^*$ là liên hợp phức của $\vec{H}$. Phần thực của $\vec{S}_c$ là vectơ Poynting trung bình theo thời gian, đại diện cho dòng năng lượng trung bình. Phần ảo của $\vec{S}_c$ đại diện cho năng lượng phản kháng, dao động qua lại giữa trường điện và trường từ mà không truyền đi.

Hạn chế của vectơ Poynting

Mặc dù vectơ Poynting rất hữu ích, nhưng nó cũng có một số hạn chế:

• Không phải là đại lượng đo được trực tiếp: Vectơ Poynting được tính toán từ $\vec{E}$ và $\vec{H}$.
• Có thể gây hiểu nhầm trong một số trường hợp: Ví dụ, trong trường tĩnh điện và từ trường tĩnh đặt chồng lên nhau, vectơ Poynting khác không, nhưng không có sự truyền năng lượng thực sự.
• Chỉ đúng tại một thời điểm và vị trí: Vectơ Poynting mô tả dòng năng lượng tức thời tại một điểm cụ thể. Để tính tổng năng lượng truyền qua một diện tích, cần tích phân vectơ Poynting theo diện tích và thời gian.

Mối liên hệ với xung lượng điện từ

Vectơ Poynting cũng liên quan đến xung lượng điện từ. Mật độ xung lượng điện từ được cho bởi:

$\vec{g} = \frac{\vec{S}}{c^2}$

Trong đó $c$ là tốc độ ánh sáng trong chân không. Đại lượng này thể hiện động lượng trên đơn vị thể tích mang bởi trường điện từ.

• David J. Griffiths, “Introduction to Electrodynamics”, 4th Edition, Pearson, 2013.
• John R. Reitz, Frederick J. Milford, Robert W. Christy, “Foundations of Electromagnetic Theory”, 4th Edition, Addison-Wesley, 1993.
• Cheng, David K., “Field and Wave Electromagnetics”, 2nd Edition, Addison-Wesley, 1989.

Câu hỏi và Giải đáp

Nếu vectơ Poynting luôn vuông góc với cả $\vec{E}$ và $\vec{H}$, tại sao trong trường hợp sóng điện từ truyền trong môi trường dẫn điện, vectơ Poynting lại có thể có thành phần song song với hướng truyền sóng?

Trả lời: Trong môi trường dẫn điện, $\vec{E}$ và $\vec{H}$ không còn vuông pha với nhau. Do đó, tích vector $\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}$ có thể có thành phần song song với hướng truyền sóng, đại diện cho năng lượng bị tiêu hao bởi môi trường (biến thành nhiệt).

Định lý Poynting biểu diễn sự bảo toàn năng lượng điện từ. Vậy nếu ta xét một thể tích chứa nguồn năng lượng điện từ (ví dụ như một anten phát sóng), định lý Poynting sẽ được sửa đổi như thế nào?

Trả lời: Trong trường hợp có nguồn năng lượng, định lý Poynting sẽ có thêm một hạng tử nguồn $P_{nguon}$ ở vế phải:

$- \frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot \vec{S} + \vec{J} \cdot \vec{E} + P_{nguon}$

Hạng tử này biểu thị công suất được cung cấp bởi nguồn.

Vectơ Poynting có thể được sử dụng để tính toán lực bức xạ lên một vật thể. Vậy làm thế nào để tính toán lực này?

Trả lời: Lực bức xạ lên một vật thể có thể được tính bằng cách lấy tích phân xung lượng điện từ ($\vec{g} = \frac{\vec{S}}{c^2}$) trên bề mặt vật thể:

$\vec{F} = oint_S \frac{\vec{S}}{c} dA$

Trong đó, $c$ là tốc độ ánh sáng và $dA$ là vi phân diện tích trên bề mặt vật thể.

Tại sao trong trường tĩnh điện trường $\vec{E}$ và trường tĩnh từ trường $\vec{B}$ riêng biệt thì vectơ Poynting bằng không, nhưng khi đặt chồng lên nhau thì vectơ Poynting lại khác không?

Trả lời: Mặc dù $\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}$ khác không khi chồng trường tĩnh điện và trường tĩnh từ, nhưng không có sự thay đổi năng lượng điện từ theo thời gian. Điều này có nghĩa là không có dòng năng lượng thực sự. Vectơ Poynting khác không trong trường hợp này chỉ là một hiệu ứng toán học, không mang ý nghĩa vật lý về sự truyền năng lượng.

Vectơ Poynting trung bình có ý nghĩa gì và tại sao nó quan trọng hơn vectơ Poynting tức thời trong nhiều ứng dụng?

Trả lời: Vectơ Poynting tức thời dao động theo thời gian. Vectơ Poynting trung bình, thường được tính toán bằng cách lấy trung bình theo một chu kỳ, biểu thị dòng năng lượng trung bình theo thời gian. Trong nhiều ứng dụng, ta quan tâm đến công suất trung bình truyền đi, ví dụ như công suất của một tín hiệu radio, chứ không phải sự dao động tức thời của năng lượng. Do đó, vectơ Poynting trung bình thường được sử dụng nhiều hơn.