Vectơ riêng (Eigenvector)

Định nghĩa:

Cho $A$ là một biến đổi tuyến tính biểu diễn bởi một ma trận vuông $n \times n$ và $v$ là một vectơ khác vectơ không trong $\mathbb{R}^n$. Vectơ $v$ được gọi là vectơ riêng của $A$ nếu tồn tại một số vô hướng $\lambda$ sao cho:

$Av = \lambda v$

Trong đó:

• $A$: Ma trận vuông $n \times n$ biểu diễn biến đổi tuyến tính.
• $v$: Vectơ riêng (khác vectơ không).
• $\lambda$: Giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng $v$.

Phát biểu theo cách khác, nhân ma trận $A$ với vectơ riêng $v$ tương đương với việc nhân vectơ $v$ với một số vô hướng $\lambda$. Việc tìm kiếm vectơ riêng và giá trị riêng của một ma trận là một bài toán quan trọng trong đại số tuyến tính, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Ý nghĩa

Vectơ riêng thể hiện các hướng “đặc biệt” trong không gian mà biến đổi tuyến tính $A$ chỉ tác động bằng cách kéo giãn hoặc nén dọc theo hướng đó. Giá trị riêng $\lambda$ cho biết mức độ kéo giãn hoặc nén. Nếu $\lambda > 1$, vectơ được kéo giãn. Nếu $0 < \lambda < 1$, vectơ bị nén. Nếu $\lambda < 0$, vectơ bị đảo ngược hướng và kéo giãn hoặc nén. Nếu $\lambda = 1$, vectơ không thay đổi. Một cách hiểu khác, vectơ riêng chỉ thay đổi độ lớn (được nhân với giá trị riêng) khi biến đổi tuyến tính được áp dụng.

Cách tìm vectơ riêng và giá trị riêng

Để tìm vectơ riêng và giá trị riêng của một ma trận $A$, ta thực hiện các bước sau:

1. Giải phương trình đặc trưng: Để tìm giá trị riêng $\lambda$, ta giải phương trình đặc trưng sau:

   $det(A – \lambda I) = 0$

   Trong đó:

   • $det$: Định thức của ma trận.
   • $I$: Ma trận đơn vị cùng kích thước với $A$.

   Phương trình này sẽ cho ra một phương trình đa thức bậc $n$ theo $\lambda$, các nghiệm của phương trình này chính là các giá trị riêng.

2. Tìm vectơ riêng: Với mỗi giá trị riêng $\lambda$ tìm được, ta thay vào phương trình $(A – \lambda I)v = 0$ và giải hệ phương trình tuyến tính thu được để tìm vectơ riêng $v$ tương ứng. Lưu ý rằng hệ phương trình này sẽ có vô số nghiệm, và ta cần tìm một đại diện khác vectơ không cho mỗi giá trị riêng.

Ví dụ

Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

1. Tìm giá trị riêng:

   $det(A – \lambda I) = det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 – 1 = \lambda^2 – 4\lambda + 3 = 0$

   Giải phương trình này ta được hai giá trị riêng $\lambda_1 = 1$ và $\lambda_2 = 3$.

2. Tìm vectơ riêng tương ứng với $\lambda_1 = 1$:

   $(A – \lambda_1 I)v = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}$

   Ta có $x + y = 0$, vậy một vectơ riêng tương ứng là $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix}$.

3. Tìm vectơ riêng tương ứng với $\lambda_2 = 3$:

   $(A – \lambda_2 I)v = \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}$

   Ta có $-x + y = 0$, vậy một vectơ riêng tương ứng là $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$.

Ứng dụng

Vectơ riêng và giá trị riêng có nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

• Cơ học lượng tử: Mô tả trạng thái của hệ lượng tử.
• Xử lý ảnh: Phân tích và nén ảnh (ví dụ như trong phân tích thành phần chính – PCA).
• Khoa học máy tính: PageRank của Google (xếp hạng trang web), học máy (machine learning).
• Phân tích rung động: Xác định các chế độ dao động tự nhiên của hệ cơ học.
• Phân tích dữ liệu: Giảm chiều dữ liệu, phân cụm dữ liệu.

Tính chất của vectơ riêng

• Độc lập tuyến tính: Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng phân biệt của một ma trận là độc lập tuyến tính. Điều này có nghĩa là chúng tạo thành một cơ sở cho một không gian con. Tuy nhiên, các vectơ riêng tương ứng với cùng một giá trị riêng chưa chắc đã độc lập tuyến tính.
• Bội số của vectơ riêng: Nếu $v$ là một vectơ riêng của $A$ tương ứng với giá trị riêng $\lambda$, thì bất kỳ bội số khác không nào của $v$ (ví dụ: $kv$ với $k \ne 0$) cũng là một vectơ riêng của $A$ tương ứng với giá trị riêng $\lambda$.
• Ma trận khả nghịch: Nếu $A$ là một ma trận khả nghịch và $v$ là một vectơ riêng của $A$ tương ứng với giá trị riêng $\lambda$, thì $v$ cũng là một vectơ riêng của $A^{-1}$ tương ứng với giá trị riêng $\frac{1}{\lambda}$.
• Ma trận chuyển vị: Một ma trận $A$ và ma trận chuyển vị của nó $A^T$ có cùng giá trị riêng, nhưng vectơ riêng của chúng nói chung là khác nhau.

Vectơ riêng tổng quát

Khái niệm vectơ riêng có thể được mở rộng cho các không gian vectơ tổng quát hơn không gian vectơ thực $\mathbb{R}^n$. Ví dụ, ta có thể xét vectơ riêng của các toán tử tuyến tính trên không gian vectơ phức hoặc không gian hàm.

Phân rã theo vectơ riêng

Trong một số trường hợp, ma trận $A$ có thể được phân rã theo các vectơ riêng của nó. Ví dụ, nếu $A$ là một ma trận đối xứng thực, thì tồn tại một ma trận trực giao $P$ sao cho $P^{-1}AP = D$, trong đó $D$ là một ma trận đường chéo chứa các giá trị riêng của $A$ và các cột của $P$ là các vectơ riêng tương ứng. Phân rã này được gọi là phân rã phổ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong đại số tuyến tính và các lĩnh vực liên quan. Tuy nhiên, không phải ma trận nào cũng có thể phân rã theo cách này.

Một số vấn đề cần lưu ý

• Không phải mọi ma trận đều có vectơ riêng thực. Ví dụ, ma trận quay trong mặt phẳng không có vectơ riêng thực.
• Việc tìm vectơ riêng và giá trị riêng có thể phức tạp đối với ma trận lớn. Có nhiều thuật toán số được sử dụng để tính gần đúng các vectơ riêng và giá trị riêng trong những trường hợp này.

• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right. Springer.

Câu hỏi và Giải đáp

Sự khác biệt giữa vectơ riêng và không gian riêng là gì?

Trả lời: Vectơ riêng là một vectơ riêng lẻ thỏa mãn $Av = \lambda v$. Không gian riêng tương ứng với một giá trị riêng $\lambda$ là tập hợp tất cả các vectơ riêng tương ứng với $\lambda$ (bao gồm cả vectơ không). Nói cách khác, không gian riêng là không gian con được sinh bởi tất cả các vectơ riêng tương ứng với một giá trị riêng cụ thể.

Một ma trận có thể có nhiều vectơ riêng tương ứng với cùng một giá trị riêng không? Nếu có, hãy cho ví dụ.

Trả lời: Có. Ví dụ, xét ma trận đơn vị $I = begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{pmatrix}$. Bất kỳ vectơ nào cũng là vectơ riêng của $I$ tương ứng với giá trị riêng 1, vì $Iv = 1v = v$ với mọi vectơ $v$. Vậy, ma trận $I$ có vô số vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng 1.

Làm thế nào để tìm vectơ riêng của một ma trận không vuông?

Trả lời: Khái niệm vectơ riêng chỉ được định nghĩa cho ma trận vuông. Ma trận không vuông không có vectơ riêng theo định nghĩa thông thường. Tuy nhiên, có những khái niệm tương tự như giá trị suy biến (singular value) và vectơ suy biến (singular vector) được sử dụng trong phân rã giá trị suy biến (SVD) cho ma trận không vuông.

Nếu một ma trận có giá trị riêng bằng 0, điều đó có nghĩa gì về ma trận đó?

Trả lời: Nếu một ma trận $A$ có giá trị riêng bằng 0, điều đó có nghĩa là $det(A) = 0$. Nói cách khác, ma trận $A$ là suy biến (singular) hay không khả nghịch. Điều này xuất phát từ việc $det(A – \lambda I) = 0$. Nếu $\lambda = 0$ là một giá trị riêng, thì $det(A – 0I) = det(A) = 0$.

Giá trị riêng và vectơ riêng được ứng dụng như thế nào trong học máy?

Trả lời: Giá trị riêng và vectơ riêng có nhiều ứng dụng trong học máy, bao gồm:

• Phân tích thành phần chính (PCA): PCA sử dụng vectơ riêng để giảm chiều dữ liệu bằng cách chiếu dữ liệu lên các thành phần chính, là các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng lớn nhất.
• Phân rã giá trị suy biến (SVD): SVD được sử dụng trong nhiều ứng dụng như phân cụm, nén dữ liệu và hệ thống đề xuất.
• Phân tích phổ: Phân tích phổ được sử dụng trong xử lý tín hiệu và phân tích đồ thị.
• Phân loại: Một số thuật toán phân loại sử dụng vectơ riêng và giá trị riêng để phân tách dữ liệu thành các lớp khác nhau.