Vùng Brillouin (Brillouin zone)

Định nghĩa

Vùng Brillouin thứ nhất (vùng Brillouin đầu tiên) được định nghĩa là tập hợp các điểm trong không gian sóng (không gian k) gần tâm mạng nghịch đảo nhất so với bất kỳ điểm nào khác của mạng nghịch đảo. Nó là tế bào Wigner-Seitz của mạng nghịch đảo. Một cách hình dung, vùng Brillouin thứ nhất được xây dựng bằng cách vẽ các mặt phẳng phân giác vuông góc với các vector nối tâm mạng nghịch đảo với các nút mạng nghịch đảo lân cận. Giao của các mặt phẳng này tạo thành vùng Brillouin thứ nhất.

Xây dựng Vùng Brillouin

Mạng tinh thể và mạng nghịch đảo: Một mạng tinh thể được định nghĩa bởi các vector cơ sở $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $\vec{a_3}$. Mạng nghịch đảo tương ứng được tạo bởi các vector cơ sở $\vec{b_1}$, $\vec{b_2}$, $\vec{b_3}$ được xác định bởi:

$\vec{b_1} = 2\pi \frac{\vec{a_2} \times \vec{a_3}}{\vec{a_1} \cdot (\vec{a_2} \times \vec{a_3})}$

$\vec{b_2} = 2\pi \frac{\vec{a_3} \times \vec{a_1}}{\vec{a_1} \cdot (\vec{a_2} \times \vec{a_3})}$

$\vec{b_3} = 2\pi \frac{\vec{a_1} \times \vec{a_2}}{\vec{a_1} \cdot (\vec{a_2} \times \vec{a_3})}$

Xây dựng vùng Brillouin: Vẽ các mặt phẳng vuông góc với các vector nối tâm mạng nghịch đảo với các nút mạng nghịch đảo lân cận, tại trung điểm của các vector đó. Vùng Brillouin thứ nhất là vùng được bao quanh bởi các mặt phẳng này và chứa tâm mạng nghịch đảo.

Ý nghĩa của Vùng Brillouin

Vùng Brillouin có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của vật liệu tinh thể:

• Đơn giản hóa việc nghiên cứu: Do tính tuần hoàn của mạng tinh thể, ta chỉ cần xét các sóng có vector sóng nằm trong vùng Brillouin thứ nhất để hiểu được toàn bộ tính chất tán xạ của mạng. Các vector sóng nằm ngoài vùng Brillouin thứ nhất có thể được đưa về vùng này bằng cách cộng thêm một vector của mạng nghịch đảo. Điều này giúp đơn giản hóa đáng kể việc phân tích và tính toán các tính chất của vật liệu.
• Mô tả sự tán xạ: Các mặt của vùng Brillouin tương ứng với các điều kiện Bragg cho sự tán xạ của sóng trên mạng tinh thể. Sự tán xạ xảy ra mạnh nhất khi vector sóng thỏa mãn điều kiện Bragg, tương ứng với việc vector sóng nằm trên mặt của vùng Brillouin.
• Nghiên cứu cấu trúc vùng năng lượng: Trong vật lý chất rắn, vùng Brillouin được sử dụng để biểu diễn cấu trúc vùng năng lượng của electron trong tinh thể. Các đường cong năng lượng được vẽ trong vùng Brillouin cho thấy sự phụ thuộc của năng lượng electron vào vector sóng. Điều này giúp ta hiểu được tính chất điện tử của vật liệu, ví dụ như tính dẫn điện, tính bán dẫn, hay tính cách điện. Hình dạng và cấu trúc của các vùng năng lượng trong vùng Brillouin quyết định nhiều tính chất quan trọng của vật liệu.

Ví dụ

Đối với mạng tinh thể lập phương đơn giản (simple cubic – sc), vùng Brillouin cũng có dạng lập phương. Đối với mạng tinh thể lập phương tâm mặt (face-centered cubic – fcc), vùng Brillouin có dạng đa diện cắt cụt tám mặt (truncated octahedron). Đối với mạng tinh thể lập phương tâm khối (body-centered cubic – bcc), vùng Brillouin có dạng đa diện mười hai mặt hình thoi (rhombic dodecahedron).

Vùng Brillouin bậc cao

Ngoài vùng Brillouin thứ nhất, ta cũng có thể định nghĩa các vùng Brillouin bậc cao hơn. Vùng Brillouin bậc hai được hình thành bởi các mặt phẳng phân giác các vector nối tâm mạng nghịch đảo với các điểm lân cận bậc hai, và tương tự cho các bậc cao hơn. Các vùng Brillouin bậc cao chứa các vector sóng tương ứng với các bậc tán xạ cao hơn. Tuy nhiên, mọi thông tin về sự tán xạ đều đã được chứa trong vùng Brillouin thứ nhất, nên việc nghiên cứu thường tập trung vào vùng này.

Vùng Brillouin và cấu trúc vùng năng lượng

Như đã đề cập, vùng Brillouin đóng vai trò quan trọng trong việc biểu diễn và phân tích cấu trúc vùng năng lượng electron. Khi vẽ đồ thị năng lượng electron theo vector sóng $\vec{k}$ trong vùng Brillouin, ta thu được các vùng năng lượng và dải năng lượng cấm. Vị trí và hình dạng của các vùng năng lượng này quyết định nhiều tính chất điện của vật liệu. Ví dụ, nếu dải năng lượng cao nhất chứa electron (dải hóa trị) được lấp đầy hoàn toàn và cách biệt với dải năng lượng trống tiếp theo (dải dẫn) bởi một dải năng lượng cấm lớn, vật liệu sẽ là chất cách điện. Nếu dải năng lượng cấm nhỏ, vật liệu có thể là chất bán dẫn. Còn nếu dải hóa trị chồng lên dải dẫn, hoặc dải hóa trị chỉ được lấp đầy một phần, vật liệu sẽ là chất dẫn điện.

Điểm đối xứng cao trong vùng Brillouin

Trong vùng Brillouin, có một số điểm đặc biệt mang tính đối xứng cao, thường được ký hiệu bằng các chữ cái Hy Lạp như $\Gamma$, $X$, $M$, $K$, $L$… $\Gamma$ luôn là tâm vùng Brillouin ($\vec{k} = 0$). Các điểm khác nằm trên bề mặt hoặc các cạnh của vùng Brillouin. Việc nghiên cứu năng lượng electron tại các điểm đối xứng cao này rất quan trọng, vì chúng thường tương ứng với các cực đại hoặc cực tiểu của năng lượng, và do đó ảnh hưởng mạnh mẽ đến tính chất điện của vật liệu.

Ứng dụng của Vùng Brillouin

Vùng Brillouin có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của vật lý chất rắn, bao gồm:

• Nghiên cứu tính chất điện: Dự đoán tính dẫn điện, bán dẫn, cách điện của vật liệu.
• Nghiên cứu tính chất quang: Phân tích sự hấp thụ và phát xạ ánh sáng của vật liệu.
• Nghiên cứu tán xạ neutron và tia X: Xác định cấu trúc tinh thể.
• Phát triển vật liệu mới: Thiết kế vật liệu với các tính chất điện và quang mong muốn.

• Introduction to Solid State Physics, Charles Kittel.
• Solid State Physics, Neil W. Ashcroft and N. David Mermin.
• The Oxford Solid State Basics, Steven H. Simon.

Câu hỏi và Giải đáp

Làm thế nào để xác định tọa độ của các điểm đối xứng cao trong vùng Brillouin?

Trả lời: Tọa độ của các điểm đối xứng cao được xác định dựa trên vector cơ sở của mạng nghịch đảo $\vec{b_1}, \vec{b_2}, \vec{b_3}$. Ví dụ, trong mạng lập phương tâm mặt, điểm $\Gamma$ nằm ở tọa độ (0,0,0), điểm $X$ nằm ở tọa độ (2π/a, 0, 0) (với $a$ là hằng số mạng), điểm $L$ nằm ở tọa độ (π/a, π/a, π/a),… Tọa độ cụ thể của các điểm này có thể được tra cứu trong các tài liệu về vật lý chất rắn.

Ảnh hưởng của việc thay đổi hằng số mạng tinh thể lên kích thước của vùng Brillouin là gì?

Trả lời: Hằng số mạng $a$ của mạng tinh thể và độ lớn của vector cơ sở mạng nghịch đảo $\vec{b_i}$ có quan hệ tỉ lệ nghịch. Khi hằng số mạng $a$ tăng, độ lớn của $\vec{b_i}$ giảm và do đó kích thước của vùng Brillouin cũng giảm. Ngược lại, khi hằng số mạng $a$ giảm, kích thước của vùng Brillouin tăng.

Tại sao việc nghiên cứu vùng Brillouin lại quan trọng trong việc thiết kế vật liệu mới?

Trả lời: Vùng Brillouin và cấu trúc vùng năng lượng chứa đựng thông tin về tính chất điện tử và quang học của vật liệu. Bằng cách điều chỉnh cấu trúc tinh thể và do đó thay đổi vùng Brillouin và cấu trúc vùng năng lượng, ta có thể thiết kế vật liệu với các tính chất mong muốn, ví dụ như vật liệu bán dẫn với dải năng lượng cấm phù hợp cho các ứng dụng điện tử.

Điều gì xảy ra khi vector sóng của một electron nằm ngoài vùng Brillouin thứ nhất?

Trả lời: Khi vector sóng $\vec{k}$ của một electron nằm ngoài vùng Brillouin thứ nhất, ta có thể đưa nó về vùng Brillouin thứ nhất bằng cách cộng hoặc trừ một vector của mạng nghịch đảo $\vec{G} = n_1\vec{b_1} + n_2\vec{b_2} + n_3\vec{b_3}$ (với $n_1, n_2, n_3$ là các số nguyên). Điều này là do tính tuần hoàn của mạng tinh thể và mạng nghịch đảo.

Ngoài việc biểu diễn cấu trúc vùng năng lượng, vùng Brillouin còn có ứng dụng gì khác?

Trả lời: Vùng Brillouin còn được sử dụng trong việc phân tích sự tán xạ của sóng trên mạng tinh thể, ví dụ như tán xạ tia X, tán xạ neutron, và tán xạ electron. Nó cũng được sử dụng để nghiên cứu các tính chất rung động của mạng tinh thể (phonon) và ảnh hưởng của chúng đến các tính chất nhiệt của vật liệu.